Giải SGK Toán 8 KNTT Bài 38. Hình chóp tam giác đều có đáp án

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Giả sử hình chóp tam giác đều trên đỉnh núi là S.ABC. Khi đó tam giác ABC là tam giác đều có cạnh bằng 60 cm, các mặt bên SAB, SAC, SBC là các tam giác cân tại S với cạnh bên dài 96,4 cm.

Nửa chu vi của hình tam giác đều ABC là

p = (60 + 60 + 60) : 2 = 90 (cm).

Gọi SH là đường cao của tam giác SAB. Khi đó SH là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Vì tam giác SAB cân tại S nên SH đồng thời là đường trung tuyến hay H chính là trung điểm của AB, suy ra HA = HB =  (cm).

Tam giác SAH vuông tại H, theo định lý Pythagore, ta có:

SA² = SH² + HA² $\frac{AB}{2}=\frac{60}{2}=30$, suy ra SH² = SA² – HA² = (96,4)² – 30² = 8 392,96.

Do đó SH ≈ 91,61 cm.

Tổng diện tích các mặt bên của hình chóp hay diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là 

S­_xq ≈ 90 . 91,61 = 8 244,9 (cm²).

Hình chóp tam giác đều S.ABC có:

– Đỉnh: S;

– Cạnh bên: SA, SB, SC;

– Mặt bên: các tam giác SAB, SAC, SBC;

– Mặt đáy: tam giác ABC;

– Đường cao: SO;

– Một trung đoạn: SH.

Chú ý: Ngoài SH ra, còn có những trung đoạn khác.

 Nhận thấy các mặt bên của hình chóp được tạo bởi 3 hình tam giác bằng nhau.

Diện tích của một tam giác này là: $\frac{1}{2}$ ⋅ 6 ⋅ 5 = 15 (cm²).

Suy ra tổng diện tích các mặt bên là: 15 . 3 = 45 (cm²).

Có nửa chu vi mặt đáy là: $\frac{1}{2}$(5 + 5 + 5) = $\frac{15}{2}$ (cm).

Có trung đoạn là: 6 cm.

Suy ra tích của nửa chu vi mặt đáy với trung đoạn của hình chóp tam giác đều là: 

$\frac{15}{2}$ ⋅ 6 = 45.

Kết quả này bằng với tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.

Xét tam giác SIP vuông tại I, từ định lí Pythagore, suy ra

SI² = SP² – IP² = 5² – 3² = 16.

Suy ra SI = 4 cm.

Trung đoạn của hình chóp tam giác đều S.MNP là d = SI = 4 cm.

Vì tam giác SMP cân tại S nên đường cao SI đồng thời là đường trung tuyến của tam giác SMP, do đó I là trung điểm của MP. Suy ra MP = 2IP = 6 cm.

Tam giác đều MNP có nửa chu vi đáy là p = $\frac{1}{2}$(6 + 6 + 6) = 9 (cm).

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.MNP: S_xq = 9 . 4 = 36 (cm²).

Nửa chu vi của hình tam giác đều ABC là

p = (60 + 60 + 60) : 2 = 90 (cm).

Vì SH là đường cao của tam giác SBC nên SH là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Vì tam giác SBC cân tại S nên SH đồng thời là đường trung tuyến hay H chính là trung điểm của BC, suy ra HC = HB = $\frac{BC}{2}=\frac{60}{2}=30$ (cm).

Tam giác SCH vuông tại H, theo định lý Pythagore, ta có:

SC² = SH² + HC², suy ra SH² = SC² – HC² = (96,4)² – 30² = 8 392,96.

Do đó SH ≈ 91,61 cm.

Tổng diện tích các mặt bên của hình chóp hay diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là 

S­_xq ≈ 90 . 91,61 = 8 244,9 (cm²).