Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 12: Hình bình hành có đáp án

a) Do MNBA và MNCB là hình bình hành

Suy ra AB // MN, BC // MN nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng AB và BC trùng nhau

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Do MNBA và MNCB là hình bình hành

Suy ra AB = MN, BC = MN

Mà A, B, C thẳng hàng nên B là trung điểm của AC.

c) Do MNCB là hình bình hành nên NC // MB, từ đó  $\widehat{NCB}=\widehat{MBA}$ (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang MNCA là hình thang cân là  $\widehat{MAB}=\widehat{NCB}$ tức là  $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}.$

Vậy điều kiện để MNCA là hình thang cân là tam giác MAB cân tại M.

d)

Do MNDC là hình bình hành nên ND // MC, từ đó  $\widehat{NDC}=\widehat{MCA}$ (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang MNDA là hình thang cân là  $\widehat{NDC}=\widehat{MAC}$.

Vậy điều kiện để MNDA là hình thang cân là  $\widehat{MCA}=\widehat{MAC}$ tức là tam giác MAC cân tại M.

Do MB là đường trung tuyến của tam giác MAC nên điều kiện để tam giác MAC cân tại M là MB vuông góc với AC.

Vậy điều kiện để hình thang MNDA là hình thang cân đó là tam giác MAB vuông tại B.

Xét hình thang ABCD với hai đáy AB và CD. Giả sử AB < CD.

Kẻ đường thẳng đi qua B song song với AD, cắt CD tại E.

Xét tứ giác ABED có: AB // DE và AD // BE

Do đó ABED là hình bình hành nên AB = DE và AD = BE.

Do AB < CD nên E nằm giữa C và D, do đó EC = DC – DE hay EC = DC ‒ AB. (1)

Trong tam giác BEC có: BE + BC > EC (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà AD = BE nên AD + BC > EC (2)

Từ (1), (2) suy ra AD + BC > DC – AB.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Gọi  $\widehat{BAD}=\alpha$

Vì AB // CD nên ta có  $\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180°$ 

Suy ra  $\widehat{ADC}=180°-\widehat{BAD}=180°-\alpha$

 $\widehat{CDF}=\widehat{ADC}+\widehat{ADF}=180°-\alpha +60°=240°-\alpha$ (do ∆AFD nên  $\widehat{ADF}=60°$) (1)

• Ta có:  $\widehat{EAF}+\widehat{FAD}+\widehat{DAB}+\widehat{BAE}=360°$ 

Suy ra  $\widehat{EAF}=360°-\widehat{FAD}-\widehat{DAB}-\widehat{BAE}$

Mà  $\widehat{FAD}=\widehat{BAE}=60°$ (do ∆AFD và ∆ABE đều)

Suy ra  $\widehat{EAF}=360°-60°-60°-\alpha =240°-\alpha \left(2\right)$ 

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat{CDF}=\widehat{EAF}.$

Xét ∆AEF và ∆DCF có

AF = DF ( vì ∆ADF đều);

 $\widehat{CDF}=\widehat{EAF}$ (chứng minh trên);

AE = DC (vì cùng bằng AB)

Do đó: ∆AEF =  ∆DCF (c.g.c)

Suy ra EF = CF (*)

•  $\widehat{CBE}=\widehat{ABC}+\widehat{ABE}=\widehat{ABC}+60°$

Mà ABCD là hình bình hành nên  $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=180°-\alpha$

Suy ra  $\widehat{CBE}=180°-\alpha +60°=240°-\alpha$, mà  $\widehat{CDF}=240°-\alpha$ (chứng minh trên)

Suy ra  $\widehat{CBE}=\widehat{CDF}.$

Xét ΔBCE và ΔDFC có:

BE = CD (vì cùng bằng AB);

 $\widehat{CBE}=\widehat{CDF}$ (chứng minh trên);

BC = DF (vì cùng bằng AD)

Do đó ∆BCE = ∆DFC (c.g.c)

Suy ra CE = CF (**)

Từ (*) và (**) suy ra: EF = CF = CE

Vậy ∆ECF là tam giác đều.