Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD. Gọi K là trung điểm của BC. Lấy điểm A', D' sao cho K là trung điểm của AA' và DD'. Hỏi tứ giác AD'A'D là hình gì? Vì sao?

Do ABCD là hình bình hành nên  $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$, AD = BC, AB = CD,  $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

• Ta có: AD = AH + DH, BC = BG +  CG

Mà BG = DH, AD = BC nên AH = CG

Xét ∆AEH và ∆CFG có:

AH = CG,  $\widehat{EAH}=\widehat{FCG}$ (do  $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$), AE = CF

Suy ra ∆AEH = ∆CFG (c.g.c) nên EH = FG.

Ta có: AB = AE + BE, CD = CF + DF

Mà AB = CD, AE = CF nên BE = DF

Xét ∆BEG và ∆DFH có:

BE = DF,  $\widehat{EBG}=\widehat{HDF}$ (do  $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$), BG = DH

Suy ra ∆BEG = ∆DFH (c.g.c) nên EG = FH.

Tứ giác EGFH có EH = FG, EG = FH nên là một hình bình hành.

• Do ABCD là hình bình hành nên khi ta gọi O là giao điểm của AC thì O là trung điểm của BD.

Vì tứ giác BEDF là hình bình hành (do EB = DF và EB // DF) nên hai đường chéo EF cắt nhau DB tại trung điểm O của BD.

Tương tự, GH đi qua trung điểm O của BD.

Vậy các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.

a) Hình bình hành AEID có  $\widehat{ADI}+\widehat{DAE}=180°$ (hai góc kề một cạnh của hình bình hành)

Ta có:  $\widehat{DAE}+\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=360°$

Mà ∆ABD vuông tại A, ∆ACE vuông tại A, suy ra  $\widehat{DAB}=\widehat{CAE}=90°$

Suy ra  $\widehat{BAC}+\widehat{DAE}=360°-90°-90°=180°$ 

Vậy  $\widehat{ADI}=\widehat{BAC.}$

Do ∆ABD vuông cân tại A nên AD = AB

∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE

Mà AEID là hình bình hành nên AE = DI, do đó DI = AC.

Xét ∆ADI và ∆BAC có

AD = AB,  $\widehat{ADI}=\widehat{BAC}$, DI = AC (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADI = ∆BAC (c.g.c).