Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD. Gọi K là trung điểm của BC. Lấy điểm A', D' sao cho K là trung điểm của AA' và DD'. Hỏi tứ giác AD'A'D là hình gì? Vì sao?

Do ABCD là hình bình hành nên  $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$, AD = BC, AB = CD,  $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

• Ta có: AD = AH + DH, BC = BG +  CG

Mà BG = DH, AD = BC nên AH = CG

Xét ∆AEH và ∆CFG có:

AH = CG,  $\widehat{EAH}=\widehat{FCG}$ (do  $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$), AE = CF

Suy ra ∆AEH = ∆CFG (c.g.c) nên EH = FG.

Ta có: AB = AE + BE, CD = CF + DF

Mà AB = CD, AE = CF nên BE = DF

Xét ∆BEG và ∆DFH có:

BE = DF,  $\widehat{EBG}=\widehat{HDF}$ (do  $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$), BG = DH

Suy ra ∆BEG = ∆DFH (c.g.c) nên EG = FH.

Tứ giác EGFH có EH = FG, EG = FH nên là một hình bình hành.

• Do ABCD là hình bình hành nên khi ta gọi O là giao điểm của AC thì O là trung điểm của BD.

Vì tứ giác BEDF là hình bình hành (do EB = DF và EB // DF) nên hai đường chéo EF cắt nhau DB tại trung điểm O của BD.

Tương tự, GH đi qua trung điểm O của BD.

Vậy các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Gọi  $\widehat{BAD}=\alpha$

Vì AB // CD nên ta có  $\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180°$ 

Suy ra  $\widehat{ADC}=180°-\widehat{BAD}=180°-\alpha$

 $\widehat{CDF}=\widehat{ADC}+\widehat{ADF}=180°-\alpha +60°=240°-\alpha$ (do ∆AFD nên  $\widehat{ADF}=60°$) (1)

• Ta có:  $\widehat{EAF}+\widehat{FAD}+\widehat{DAB}+\widehat{BAE}=360°$ 

Suy ra  $\widehat{EAF}=360°-\widehat{FAD}-\widehat{DAB}-\widehat{BAE}$

Mà  $\widehat{FAD}=\widehat{BAE}=60°$ (do ∆AFD và ∆ABE đều)

Suy ra  $\widehat{EAF}=360°-60°-60°-\alpha =240°-\alpha \left(2\right)$ 

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat{CDF}=\widehat{EAF}.$

Xét ∆AEF và ∆DCF có

AF = DF ( vì ∆ADF đều);

 $\widehat{CDF}=\widehat{EAF}$ (chứng minh trên);

AE = DC (vì cùng bằng AB)

Do đó: ∆AEF =  ∆DCF (c.g.c)

Suy ra EF = CF (*)

•  $\widehat{CBE}=\widehat{ABC}+\widehat{ABE}=\widehat{ABC}+60°$

Mà ABCD là hình bình hành nên  $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=180°-\alpha$

Suy ra  $\widehat{CBE}=180°-\alpha +60°=240°-\alpha$, mà  $\widehat{CDF}=240°-\alpha$ (chứng minh trên)

Suy ra  $\widehat{CBE}=\widehat{CDF}.$

Xét ΔBCE và ΔDFC có:

BE = CD (vì cùng bằng AB);

 $\widehat{CBE}=\widehat{CDF}$ (chứng minh trên);

BC = DF (vì cùng bằng AD)

Do đó ∆BCE = ∆DFC (c.g.c)

Suy ra CE = CF (**)

Từ (*) và (**) suy ra: EF = CF = CE

Vậy ∆ECF là tam giác đều.