Chứng minh rằng nếu hai góc kề của mỗi cạnh của một tứ giác đều là hai góc bù nhau thì tứ giác đó là một hình bình hành.

Do ABCD là hình bình hành nên  $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$, AD = BC, AB = CD,  $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

• Ta có: AD = AH + DH, BC = BG +  CG

Mà BG = DH, AD = BC nên AH = CG

Xét ∆AEH và ∆CFG có:

AH = CG,  $\widehat{EAH}=\widehat{FCG}$ (do  $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$), AE = CF

Suy ra ∆AEH = ∆CFG (c.g.c) nên EH = FG.

Ta có: AB = AE + BE, CD = CF + DF

Mà AB = CD, AE = CF nên BE = DF

Xét ∆BEG và ∆DFH có:

BE = DF,  $\widehat{EBG}=\widehat{HDF}$ (do  $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$), BG = DH

Suy ra ∆BEG = ∆DFH (c.g.c) nên EG = FH.

Tứ giác EGFH có EH = FG, EG = FH nên là một hình bình hành.

• Do ABCD là hình bình hành nên khi ta gọi O là giao điểm của AC thì O là trung điểm của BD.

Vì tứ giác BEDF là hình bình hành (do EB = DF và EB // DF) nên hai đường chéo EF cắt nhau DB tại trung điểm O của BD.

Tương tự, GH đi qua trung điểm O của BD.

Vậy các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.

a) Hình bình hành AEID có  $\widehat{ADI}+\widehat{DAE}=180°$ (hai góc kề một cạnh của hình bình hành)

Ta có:  $\widehat{DAE}+\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=360°$

Mà ∆ABD vuông tại A, ∆ACE vuông tại A, suy ra  $\widehat{DAB}=\widehat{CAE}=90°$

Suy ra  $\widehat{BAC}+\widehat{DAE}=360°-90°-90°=180°$ 

Vậy  $\widehat{ADI}=\widehat{BAC.}$

Do ∆ABD vuông cân tại A nên AD = AB

∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE

Mà AEID là hình bình hành nên AE = DI, do đó DI = AC.

Xét ∆ADI và ∆BAC có

AD = AB,  $\widehat{ADI}=\widehat{BAC}$, DI = AC (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADI = ∆BAC (c.g.c).