Một công ty sữa muốn thiết kế hộp đựng sữa với thể tích hộp là \(1\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3},\) hộp được thiết kế bởi một trong hai mẫu sau với cùng một loại vật liệu: mẫu 1 là hình hộp chữ nhật; mẫu 2 là hình trụ. Biết rằng giá thành vật liệu là \[10\,\,000\] đồng và chi phí làm mặt đáy hình tròn cao hơn \[1,2\] lần chi phí làm mặt đáy hình chữ nhật với cùng diện tích. Hỏi chi phí tối thiểu để sản xuất một hộp đựng sữa bằng bao nhiêu đồng? (xem diện tích các phần nối giữa các mặt là không đáng kể).

Đáp án: ……….

TH1: Sản xuất theo mẫu 1 là hình hộp chữ nhật.

Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Khi đó, thể tích của khối hộp là \(V = abc = 1\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}.\)

Chi phí để sản xuất theo mẫu 1 là \({T_1} = 10\,\,000 \cdot {S_{tp}} = 10\,\,000 \cdot 2 \cdot \left( {ab + bc + ca} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có \(ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} = 3.\)

Suy ra số tiền tối thiểu để sản xuất là \({T_{1\min }} = 60\,\,000\) đồng.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a = b = c = 1\,\,{\rm{dm}}.\)

TH2: Sản xuất theo mẫu 2 là hình trụ.

Gọi \[R,\,\,h\] lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Khi đó, thể tích của khối trụ là: \(V = \pi {R^2}h = 1\,\,\left( {d{m^3}} \right) \Leftrightarrow h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}.\)

Chi phi để sản xuất theo mẫu 2 là: \(10\,\,000 \cdot \left( {2,4\pi {R^2} + \frac{2}{R}} \right) = 10\,\,000 \cdot \left( {2,4\pi {R^2} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có \(2,4\pi {R^2} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2,4\pi }}.\)

Suy ra số tiền tối thiểu để sản xuất là \({T_{2\min }} \approx 59\,\,000\) (đồng).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2,4\pi {R^2} = \frac{1}{R} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2,4\pi }}}}.\)

Vậy sản xuất theo mẫu 2 thì chi phí nhỏ nhất là \[59\,\,000\] đồng.

Đáp án: \[{\bf{59}}\,\,{\bf{000}}\].