Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó phải có mặt chữ số 8 và chữ số 9 đồng thời giữa hai số này có đúng hai chữ số khác?

Đáp án: ……….

TH1: Xếp các số \[0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9\] vào 6 vị trí sao cho phải có mặt chữ số 8 và chữ số 9 đồng thời giữa hai số này có đúng hai chữ số khác.

Xếp số 8 và số 9 có 2 ! cách. Xếp 2 số vào giữa số 8 và số 9 có \({\rm{A}}_8^2\) cách.

Coi 4 số vừa xếp là một số \(X\). Xếp \(X\) và các số còn lại vào 3 vị trí. Xếp X vào một trong 3 vị trí có 3 cách, xếp 6 số còn lại vào 2 vị trí có \(A_6^2\) cách.

Vậy trường hợp 1 có: \(2 \cdot {\rm{A}}_8^2 \cdot 3 \cdot {\rm{A}}_6^2 = 10\,\,080\) (số).

TH2: Xếp số 0 đứng đầu. Khi đó xếp các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9\] vào 5 vị trí sao cho phải có mặt chữ số 8 và chữ số 9 đồng thời giữa hai số này có đúng hai chữ số khác.

Xếp số 8 và số 9 có \[2!\] cách. Xếp 2 số vào giữa số 8 và số 9 có \({\rm{A}}_7^2\) cách.

Coi 4 số vừa xếp là một số X. Xếp X và các số còn lại vào 2 vị trí. Xếp X vào một trong 2 vị trí có 2 cách, xếp 5 số còn lại vào 1 vị trí có 5 cách.

Vậy trường hợp 2 có: \(2 \cdot A_7^2 \cdot 2 \cdot 5 = 840\) (số).

Vậy có \(10\,\,080 - 840 = 9\,\,240\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án: 9240.