Cho hàm số \({\rm{y}} = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình bên. Với tham số thực \(m \in \left( {0\,;\,\,4} \right]\) thì phương trình \({\rm{f}}\left( {x{{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right) = m\) có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực thuộc \(\left[ {0\,;\,\,4} \right)?\)

Đáp án: ……….

Đặt \(t = x{\left( {x - 3} \right)^2}\) khi đó \(t' = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + 2x\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {3x - 3} \right) = 0\).

Bảng biến thiên

• Với \(x \in \left[ {0\,;\,\,4} \right)\) suy ra \(t \in \left[ {0\,;\,\,4} \right]\), có khi \(t = 4 \Rightarrow x{\left( {x - 3} \right)^2} = 4\) có 1 nghiệm \(x = 1\) thuộc \(\left[ {0\,;\,\,4} \right)\)

khi \(0 < t < 4\) phương trình \(x{\left( {x - 3} \right)^2} = t\) có ba nghiệm phân biệt \(x \in \left[ {0\,;\,\,4} \right)\).

Xét phương trình \(f\left( {x{{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right) = m\) khi \(m \in \left( {0\,;\,\,4} \right]\).

Đặt \(t = x{\left( {x - 3} \right)^2}\), từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đã cho suy ra:

• Với \(m = 4\) phương trình \(f\left( t \right) = m\) có hai nghiệm \(t = 1\,,\,\,t = 4\) khi đó phương trình \(f\left( {x{{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt \(x \in \left[ {0\,;\,\,4} \right)\).

• Với \(m \in (0;4)\) phương trình \(f\left( t \right) = m\) có ba nghiệm phân biệt \(0 < t < 4\) khi đó phương trình \(f\left( {x{{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right) = m\) có 9 nghiệm phân biệt \(x \in \left[ {0\,;\,\,4} \right)\).

Vậy với tham số thực \(m \in \left( {0\,;\,\,4} \right]\) thì phương trình \(f\left( {x{{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right) = m\) có ít nhất 4 nghiệm thực thuộc \(\left[ {0\,;\,\,4} \right)\). Đáp án 4.