Trong không gian \({\rm{Oxyz}}\), cho đường thẳng \({\rm{d}}:\frac{{{\rm{x}} + 1}}{1} = \frac{{{\rm{y}} + 3}}{2} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{2}\) và điểm \({\rm{A}}\left( {3\,;\,\,2\,;\,\,0} \right).\) Gọi \({\rm{A'}}\) là điểm đối xứng của điểm \({\rm{A}}\) qua đường thẳng \({\rm{d}}\). Khoảng cách từ điểm \({\rm{A'}}\) đến mặt phẳng \(\left( {{\rm{Oxy}}} \right)\) bằng

Đáp án: ……….

Gọi \(\left( {\rm{P}} \right)\) là mặt phẳng đi qua \({\rm{A}}\) và vuông góc với đường thẳng \({\rm{d}}\).

Phương trình của mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) là: \(1\left( {{\rm{x}} - 3} \right) + 2\left( {{\rm{y}} - 2} \right) + 2\left( {{\rm{z}} - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2{\rm{z}} - 7 = 0\).

Gọi H là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\), khi đó \({\rm{H}} = {\rm{d}} \cap \left( {\rm{P}} \right)\)

Suy ra \[{\rm{H}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{H}}\left( { - 1 + {\rm{t}}\,;\,\, - 3 + 2{\rm{t}}\,;\,\, - 2 + 2{\rm{t}}} \right)\].

Mặt khác \({\rm{H}} \in \left( {\rm{P}} \right) \Rightarrow - 1 + {\rm{t}} - 6 + 4{\rm{t}} - 4 + 4{\rm{t}} - 7 = 0\) \( \Rightarrow t = 2\). Vậy \({\rm{H}}\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \({\rm{A}}\) qua đường thẳng \({\rm{d}}\), khi đó \({\rm{H}}\) là trung điểm của \({\rm{A}}A'\) suy ra \[A'\left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,4} \right).\]

Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \({\rm{Oxy}}\) là: \({\rm{d}}\left( {A',\,\,\left( {{\rm{Oxy}}} \right)} \right) = 4\). Đáp án: 4.