Câu hỏi:
31/07/2024 688
Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \[A\left( {0\,;\,\,2\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\, - 6\,;\,\, - 2} \right)\]. Điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn tích \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a + b + c\) bằng
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/07/blobid8-1722399459.png)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow E\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right)\) và \(AB = 6\sqrt 2 \).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right)\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)\)
\( = M{E^2} + \overrightarrow {ME} \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \overrightarrow {EA} \cdot \overrightarrow {EB} \)
\( = M{E^2} + \overrightarrow {ME} \cdot \vec 0 - \overrightarrow {EB} \cdot \overrightarrow {EB} = M{E^2} - \frac{1}{4}A{B^2}\)
Suy ra \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) đạt GTNN khi \(ME\) đạt GTNN.
Lại có: \(ME + MI \ge IE \Rightarrow ME + MI \ge IN + NE \Rightarrow ME \ge NE\)
\( \Rightarrow ME\) đạt GTNN khi \(M \equiv N\) với \(N = IE \cap \left( S \right)\).
Đường thẳng \(IE\) đi qua \(I\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IE} = \left( {2\,;\,\, - 4\,;\,\, - 2} \right)\) hay \(\frac{1}{2}\overrightarrow {IE} = \left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right)\) làm VTCP nên \(IE:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\).
Vì \(N = IE \cap \left( S \right)\) nên \({\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} + 2\left( { - 1 + t} \right) - 4\left( {2 - 2t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + \frac{9}{2} = 0\)
\( \Leftrightarrow 6{\left( {t - 1} \right)^2} + 12\left( {t - 1} \right) + \frac{9}{2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 1 = - \frac{1}{2}}\\{t - 1 = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{1}{2}}\\{t = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( { - \frac{1}{2}\,;\,\,1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow NE = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\\{N\left( { - \frac{3}{2}\,;\,\,3\,;\,\,\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow NE = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\).
Do đó \(M{E_{\min }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) khi \(M \equiv N\left( { - \frac{1}{2}\,;\,\,1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)\( \Rightarrow a + b + c = - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 1\).
Chọn B.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đoạn thơ đã thể hiện lòng yêu mến, thái độ trân trọng của tác giả đối với vẻ đẹp và sự giàu có, phong phú của tiếng Việt. Tác giả đã so sánh tiếng Việt với những hình ảnh thiên nhiên quen thuộc như “đất cày, lụa, tre ngà, tơ” để biểu đạt sự gắn bó với quê hương và sự mềm mại, óng ánh của tiếng Việt. Tác giả cũng đã miêu tả tiếng Việt như tiếng nói vẹn tròn từ trước khi có chữ viết, như tiếng hát tha thiết kể mọi điều bằng ríu rít âm thanh, như gió nước không thể nắm bắt để biểu đạt sự cổ xưa, giàu cảm xúc và phong phú của tiếng Việt. Tác giả cũng đã nhắc đến những dấu huyền, dấu ngã để biểu đạt sự đặc trưng và khó nắm bắt của tiếng Việt. Chọn D.
Lời giải
Tỉ trọng thành phần kinh tế ngoài Nhà nước lớn nhất và có xu hướng tăng. → xu hướng giảm, tỉ trọng nhỏ hơn ngoài Nhà nước. Chọn A.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo