Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = 4{x^3} - 6{x^2} + 1\) đi qua điểm \(M\left( { - 1\,;\,\, - 9} \right)?\)

Đáp án: ……….

Ta có: \(y' = 12{x^2} - 12x\).

Phương trình tiếp tuyến tại \({M_0}\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) có dạng \[\left( \Delta \right):y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\].

\( \Leftrightarrow \left( \Delta \right):y = \left( {12x_0^2 - 12{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1.{\rm{ }}\)

Do \(M\left( { - 1\,;\,\, - 9} \right) \in \left( \Delta \right)\) nên \( - 9 = \left( {12x_0^2 - 12{x_0}} \right)\left( { - 1 - {x_0}} \right) + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\).

\( \Leftrightarrow - 8x_0^3 - 6x_0^2 + 12{x_0} + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = - 1}\\{{x_0} = \frac{5}{4}}\end{array}.} \right.\)

Do đó, số tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu là 2.

Đáp án: 2.