Trong không gian với hệ tọa độ [Oxyz, ] cho điểm (A left( {a ,; , ,0 ,; , ,0} right), , ,B left( {0 ,; , ,b ,; , ,0} right), , ,C left( {0 ,; , ,0 ,; , ,c} right), ) trong đó (a > 0, ) (b > 0, ) (c >...

Ta có ( left( {ABC} right): frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1 ). Mặt cầu [ left( S right) ] có tâm (I left( {2 ,; , ,1 ,; , ,1} right) ) và bán kính (R = frac{5}{{ sqrt 6 }} ) ( Leftrightarrow frac{{ left| {6 - 1} right|}}{{ sqrt { frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}} }} = frac{5}{{ sqrt 6 }} Leftrightarrow frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}} = 6 ). Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: ( left( {{2^2} + {1^2} + {1^2}} right) left( { frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}} right) ge { left( { frac{2}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c}} right)^2} = {6^2} Rightarrow frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}} ge 6. ) Dấu xảy ra [ Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{ frac{2}{{ frac{1}{a}}} = frac{1}{{ frac{1}{b}}} = frac{1}{{ frac{1}{c}}}} { frac{2}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c} = 6} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{a = frac{1}{2}} {b = c = 1} end{array}} right.} right. ]. Khi đó ({V_{{ rm{OABC }}}} = frac{1}{6}abc = frac{1}{{12}} ). Đáp án: ( frac{1}{{12}} ).