Cho đường tròn (O; R). Lấy các điểm A₁, A₂, A₂, …, A₁₀ trên đường tròn (O; R) sao cho các điểm này chia đường tròn thành 10 cung có số đo bằng nhau. Chứng minh đa giác A₁A₂ A₃…A₁₀ là một đa giác đều.

⦁ Các điểm A₁, A₂, A₃, …, A₁₀ chia đường tròn thành 10 cung bằng nhau, mỗi cung có số đo bằng \(\frac{{360^\circ }}{{10}} = 36^\circ ,\) do dó \(\widehat {{A_1}O{A_2}} = \widehat {{A_2}O{A_3}} = ... = \widehat {{A_{10}}O{A_1}} = 36^\circ .\)

Xét ∆OA₁A₂ và ∆OA₂A₃ có:

OA₁ = OA₂; \(\widehat {{A_1}O{A_2}} = \widehat {{A_2}O{A_3}};\) OA₂ = OA₃

Do đó ∆OA₁A₂ = ∆OA₂A₃ (c.g.c).

Suy ra A₁A₂ = A₂A₃ (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có 10 tam giác cân OA₁A₂, OA₂A₃,…, OA₁₀A₁ bằng nhau vì cùng có hai cạnh bằng R và góc ở đỉnh bằng 36°, suy ra A₁A₂ = A₂A₃ = … = A₁₀A₁ nên đa giác có các cạnh bằng nhau.

⦁ Xét ∆OA₁A₂ cân tại O (do OA₁ = OA₂) nên

\(\widehat {O{A_1}{A_2}} = \widehat {O{A_2}{A_1}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{A_1}O{A_2}}}}{2} = \frac{{180^\circ - 36^\circ }}{2} = 72^\circ .\)

Tương tự, ta cũng có ∆OA₂A₃ cân tại O (do OA₂ = OA₃) nên

\[\widehat {O{A_2}{A_3}} = \widehat {O{A_3}{A_2}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{A_2}O{A_3}}}}{2} = \frac{{180^\circ - 36^\circ }}{2} = 72^\circ .\]

Suy ra \(\widehat {{A_1}{A_2}{A_3}} = \widehat {O{A_2}{A_1}} + \widehat {O{A_2}{A_3}} = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ .\)

Do đó ta tính được mỗi góc của đa giác A₁A₂A₃…A₁₀ bằng 144°.

Vậy đa giác A₁A₂A₃... A₁₀ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau nên là một đa giác đều.