Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3. Đa giác đều và phép quay có đáp án

⦁ Các điểm A₁, A₂, A₃, …, A₁₀ chia đường tròn thành 10 cung bằng nhau, mỗi cung có số đo bằng \(\frac{{360^\circ }}{{10}} = 36^\circ ,\) do dó \(\widehat {{A_1}O{A_2}} = \widehat {{A_2}O{A_3}} = ... = \widehat {{A_{10}}O{A_1}} = 36^\circ .\)

Xét ∆OA₁A₂ và ∆OA₂A₃ có:

OA₁ = OA₂; \(\widehat {{A_1}O{A_2}} = \widehat {{A_2}O{A_3}};\) OA₂ = OA₃

Do đó ∆OA₁A₂ = ∆OA₂A₃ (c.g.c).

Suy ra A₁A₂ = A₂A₃ (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có 10 tam giác cân OA₁A₂, OA₂A₃,…, OA₁₀A₁ bằng nhau vì cùng có hai cạnh bằng R và góc ở đỉnh bằng 36°, suy ra A₁A₂ = A₂A₃ = … = A₁₀A₁ nên đa giác có các cạnh bằng nhau.

⦁ Xét ∆OA₁A₂ cân tại O (do OA₁ = OA₂) nên

\(\widehat {O{A_1}{A_2}} = \widehat {O{A_2}{A_1}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{A_1}O{A_2}}}}{2} = \frac{{180^\circ - 36^\circ }}{2} = 72^\circ .\)

Tương tự, ta cũng có ∆OA₂A₃ cân tại O (do OA₂ = OA₃) nên

\[\widehat {O{A_2}{A_3}} = \widehat {O{A_3}{A_2}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{A_2}O{A_3}}}}{2} = \frac{{180^\circ - 36^\circ }}{2} = 72^\circ .\]

Suy ra \(\widehat {{A_1}{A_2}{A_3}} = \widehat {O{A_2}{A_1}} + \widehat {O{A_2}{A_3}} = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ .\)

Do đó ta tính được mỗi góc của đa giác A₁A₂A₃…A₁₀ bằng 144°.

Vậy đa giác A₁A₂A₃... A₁₀ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau nên là một đa giác đều.

Gọi O là tâm đối xứng, AB là cạnh của ngũ giác đều. Kẻ OH ⊥ AB tại H.

Vì ngũ giác đã cho là ngũ giác đều nên nội tiếp đường tròn (O; OA) và các đỉnh của ngũ giác đều chia đường tròn thành 5 cung bằng nhau, do đó \(\widehat {AOB} = \frac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ .\)

Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) nên đường cao OH đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác.

Suy ra \(\widehat {AOH} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = 36^\circ \) và H là trung điểm của AB nên \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{280}}{2} = 140\;\) (m).

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có:

   OH = AH . cot 36° = 140 . cot 36° ≈ 192,7 (m).