Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) ⦁ Xét biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\).

Ta có \(\sqrt x + 3 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0.\)

⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}\).

Ta có \(\sqrt x + 1 > 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

b) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {16} + 2}}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{{4 + 2}}{{4 + 3}} = \frac{6}{7}\).

Vậy \(A = \frac{6}{7}\) khi \(x = 16\).

c) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{x + 4\sqrt x - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\).

d) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:

\(P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 3 - 4}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}}\).

Ta lại có: \(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 \ge 3,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{4}{3}\), do đó \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} \ge - \frac{1}{3}\).

\(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 \ge 3 > 0,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0\), do đó \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} < 1\).

Như vậy, \( - \frac{1}{3} \le P < 1\).

Mà \(P\) nhận giá trị nguyên nên \(P = 0.\)

Với \(P = 0,\) ta có: \(1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 0,\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,\) do đó \(\sqrt x + 3 = 4\) nên \(\sqrt x = 1,\) hay \(x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy không có giá trị \(x\) để biểu thức \(P = \frac{A}{B}\) nhận giá trị nguyên.

1. a) Điều kiện xác định: \(x \ne 0,x \ne 2\).

Ta có: \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{1}{x} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)

\(\frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)

\(x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2\)

\({x^2} + 2x - x + 2 - 2 = 0\)

\({x^2} + x = 0\)

\(x\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 0\) (loại) hoặc \(x = - 1\) (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 1\).

b) \(1 + \frac{{x + 2}}{5} > x + \frac{{x - 2}}{2} + \frac{{x + 3}}{3}.\)

\(\frac{{30 + 6x + 12}}{{30}} > \frac{{30x + 15\left( {x - 2} \right) + 10\left( {x + 3} \right)}}{{30}}\)

     \(\frac{{6x + 42}}{{30}} > \frac{{30x + 15x - 30 + 10x + 30}}{{30}}\)

     \[\frac{{6x + 42}}{{30}} > \frac{{55x}}{{30}}\]

       \(6x + 42 > 55x\)

       \(6x - 55x >  - 42\)

              \( - 49x >  - 42\)

                    \(x < \frac{6}{7}\).