Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) ⦁ Xét biểu thức \(A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\sqrt x }}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0\) và \(\sqrt x \ne 0\), tức là \(x > 0.\)

⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 3 \ne 0\) và \(\sqrt x + 3 \ne 0.\)

Với \(x \ge 0\) ta thấy \(\sqrt x + 3 > 0\) và \(\sqrt x - 3 \ne 0\) khi \(x \ne 9.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x > 0\) và điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\), \(x \ne 9.\)

b) Thay \(x = \frac{1}{9}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{9}} }} = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3} - 3 = - \frac{8}{3}.\)

Vậy giá trị biểu thức \(A = - \frac{8}{3}\) tại \(x = \frac{1}{9}.\)

c) Với \(x \ge 0;x \ne 9\), ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}\)

      \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

     \( = \frac{{x + 6\sqrt x + 9 - \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

     \( = \frac{{x + 6\sqrt x + 9 - x + 6\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

    \( = \frac{{12\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{12\sqrt x }}{{x - 9}}.\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 9\) thì \(B = \frac{{12\sqrt x }}{{x - 9}}.\)

d) Với \(x > 0;x \ne 9\), ta có:

\(P = A \cdot B = \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right) \cdot \frac{{12\sqrt x }}{{x - 9}}\) \( = \frac{{\sqrt x - 3}}{{3\sqrt x }}.\frac{{12\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)\( = \frac{4}{{\sqrt x + 3}}\).

Với \(x > 0;x \ne 9\), ta có \(\sqrt x > 0\) nên \(\sqrt x + 3 > 3\), suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} < \frac{4}{3}\).

Ta cũng có: \(\sqrt x + 3 > 3 > 0\) nên \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0\).

Do đó \(0 < P < \frac{4}{3}.\)

Như vậy, để \(P\) nguyên thì \(P = 1\).

Khi đó, ta có: \(\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,\) suy ra \(\sqrt x + 3 = 4\) nên \(\sqrt x = 1,\) suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với \(x = 1\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên.

a) Điều kiện xác định \(x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne  - \frac{1}{3}.\)

Ta có: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\({\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 4\)

\(\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 4\)

\( - 6x \cdot 2 = 4\)

\( - 12x = 4\)

      \(x =  - \frac{1}{3}\) (loại).

b) \(\frac{{2x - 1}}{2} - \frac{{x + 1}}{6} \ge \frac{{4x - 5}}{3}\)

\(\frac{{6\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{12}} \ge \frac{{4\left( {4x - 5} \right)}}{{12}}\)

\(6\left( {2x - 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) \ge 4\left( {4x - 5} \right)\)

\(12x - 6 - 2x - 1 \ge 16x - 20\)

\(10x - 7 \ge 16x - 20\)

\(10x - 16x \ge  - 20 + 7\)

\( - 6x \ge  - 13\)

    \(x \le \frac{{13}}{6}.\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \frac{{13}}{6}.\)