(0,5 điểm) Nam làm một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật bằng bìa carton có thể tích \(3{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\). Biết tỉ số giữa chiều cao \(h\) và chiều rộng đáy \(y\) bằng \(4\). Xác định chiều dài \(x\) để lượng bìa cần sử dụng là ít nhất.

a) Điều kiện xác định \(x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne  - \frac{1}{3}.\)

Ta có: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\({\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 4\)

\(\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 4\)

\( - 6x \cdot 2 = 4\)

\( - 12x = 4\)

      \(x =  - \frac{1}{3}\) (loại).

a) Vì \(AB\) và \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) nên \(AB \bot OB\), \(AC \bot OC\), do đó \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AO\).

Xét \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có \(BK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \(BK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}\) (1).

Xét \(\Delta ACO\) vuông tại \(C\) có \(CK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \(CK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(BK = CK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}\).

Vậy các điểm \[A,\,B,\,O,C\] cùng thuộc một đường tròn tâm \(K\) đường kính \(AO\).