Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

a) ⦁ Xét biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\]

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 3 \ne 0,\) tức là \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\).

⦁ Xét biểu thức \[B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\].

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 1 \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0,\,\,2\sqrt x + 1 \ne 0.\)

Với \(x \ge 0\), ta có: \(\sqrt x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1;\)

\(x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1;\)

\(2\sqrt x + 1 > 0\).

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\) và \(x \ne 1.\)

b) Thay \(x = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 1}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 3}} = \frac{{\frac{1}{4} + 1}}{{\frac{1}{4} - 3}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{{11}}{4}}} = - \frac{5}{{11}}.\)

Vậy \(A = - \frac{5}{{11}}\) khi \(x = \frac{1}{{16}}\).

c) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:

\(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\)

   \( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).

d) Với \[x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1,\] ta có: \(A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).

Khi đó, để \(A.B < 1\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1\).

Giải bất phương trình: \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - 1 < 0\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0\)

\(\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0\).

Do \(3 > 0\) nên để \(\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0\) thì \(\sqrt x - 3 < 0\) hay \(\sqrt x < 3\). Suy ra \(x < 9\).

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1\) nên \(0 \le x < 9;x \ne 1\).

Mà \(x\) là số nguyên tố nên ta được \(x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.\)

Vậy các giá trị nguyên tố thỏa mãn \(A.B < 1\) là \(x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.\)

a) Điều kiện xác định \(x \ne - 1,x \ne 3\).

Ta có: \(\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x \cdot 2}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(x\left( {x + 1} \right) + x\left( {x - 3} \right) = 2x \cdot 2\)

\({x^2} + x + {x^2} - 3x - 4x = 0\)

\(2{x^2} - 6x = 0\)

\(2x\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\).

\(x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 3\) (loại).

b) \[\frac{{x + 2}}{3} - 1 \ge 2x + \frac{x}{2}\]

\[\frac{{x + 2}}{3} - \frac{3}{3} \ge \frac{{4x}}{2} + \frac{x}{2}\]

\[\frac{{x + 2 - 3}}{3} \ge \frac{{4x + x}}{2}\]

\[\frac{{x - 1}}{3} \ge \frac{{5x}}{2}\]

\[2\left( {x - 1} \right) \ge 3 \cdot 5x\]

\[2x - 2 \ge 15x\]

\[2x - 15x \ge 2\]

\[ - 13x \ge 2\]

\[x \le \frac{{ - 2}}{{13}}\].