(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{\mathrm{x}}-3}$  và $\mathrm{B}=\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}-1}+\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}-1}\right).\frac{\mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}}}{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}$ .

a) Tìm điều kiện xác định của hai biểu thức \(A\) và \(B\).

b) Thay \(x = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 1}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 3}} = \frac{{\frac{1}{4} + 1}}{{\frac{1}{4} - 3}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{{11}}{4}}} = - \frac{5}{{11}}.\)

Vậy \(A = - \frac{5}{{11}}\) khi \(x = \frac{1}{{16}}\).

c) Với \(x \ge 0;x \ne 1\), ta có:

\(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\)

   \( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).

d) Với \[x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1,\] ta có: \(A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).

Khi đó, để \(A.B < 1\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1\).

Giải bất phương trình: \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - 1 < 0\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0\)

\(\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0\).

Do \(3 > 0\) nên để \(\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0\) thì \(\sqrt x - 3 < 0\) hay \(\sqrt x < 3\). Suy ra \(x < 9\).

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1\) nên \(0 \le x < 9;x \ne 1\).

Mà \(x\) là số nguyên tố nên ta được \(x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.\)

Vậy các giá trị nguyên tố thỏa mãn \(A.B < 1\) là \(x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.\)