(0,5 điểm) Bác Sơn muốn xây một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(72{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\). Đáy bể có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bác Sơn muốn phần diện tích cần xây (bao gồm diện tích xung quanh và diện tích đáy bể) là nhỏ nhất để tiết kiệm chi phí thì \(x\) phải bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

a) Điều kiện xác định \(x \ne - 1,x \ne 3\).

Ta có: \(\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x \cdot 2}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(x\left( {x + 1} \right) + x\left( {x - 3} \right) = 2x \cdot 2\)

\({x^2} + x + {x^2} - 3x - 4x = 0\)

\(2{x^2} - 6x = 0\)

\(2x\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\).

\(x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 3\) (loại).

Hướng dẫn giải

a) ⦁ Xét biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\]

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 3 \ne 0,\) tức là \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\).

⦁ Xét biểu thức \[B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\].

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,\sqrt x - 1 \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0,\,\,2\sqrt x + 1 \ne 0.\)

Với \(x \ge 0\), ta có: \(\sqrt x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1;\)

\(x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1;\)

\(2\sqrt x + 1 > 0\).

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\) và \(x \ne 1.\)