(3,5 điểm)

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) \(\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}.\)

b) \[\frac{{x + 2}}{3} - 1 \ge 2x + \frac{x}{2}\]

\[\frac{{x + 2}}{3} - \frac{3}{3} \ge \frac{{4x}}{2} + \frac{x}{2}\]

\[\frac{{x + 2 - 3}}{3} \ge \frac{{4x + x}}{2}\]

\[\frac{{x - 1}}{3} \ge \frac{{5x}}{2}\]

\[2\left( {x - 1} \right) \ge 3 \cdot 5x\]

\[2x - 2 \ge 15x\]

\[2x - 15x \ge 2\]

\[ - 13x \ge 2\]

\[x \le \frac{{ - 2}}{{13}}\].

c) \(\frac{3}{2}\sqrt {4x - 8} - 9\sqrt {\frac{{x - 2}}{{81}}} = 6\)    (đkxđ: \(x \ge 2).\)

\[\frac{3}{2}\sqrt {4\left( {x - 2} \right)} - 9\sqrt {\frac{1}{{81}}\left( {x - 2} \right)} = 6\]

\[\frac{3}{2} \cdot 2\sqrt {x - 2} - 9 \cdot \frac{1}{9}\sqrt {x - 2} = 6\]

\[3\sqrt {x - 2} - \sqrt {x - 2} = 6\]

\[2\sqrt {x - 2} = 6\]

\[\sqrt {x - 2} = 3\]

    \[x - 2 = 9\]

    \[x = 11\] (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 11.\)

2. Gọi \(x,y\) (kg/m³) lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng loại I và chất lỏng loại II \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Theo đề, khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là \({\rm{200 kg/}}{{\rm{m}}^3}\) nên ta có phương trình: \(x - y = 200\) (1).

Thể tích của 4 kg chất lỏng loại I là: \(\frac{4}{x}\) (m³). Thể tích của 3 kg chất lỏng loại II là: \(\frac{3}{y}\) (m³).

Khi đó, tổng thể tích hai loại chất lỏng là: \[\frac{4}{x} + \frac{3}{y}\] (m³).

Người ta trộn \(4{\rm{ kg}}\) chất lỏng loại I với \({\rm{3 kg}}\) chất lỏng loại II, do đó khối lượng hỗn hợp là: \(3 + 4 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Thể tích của hỗn hợp sau khi pha là: \(\frac{7}{{700}} = \frac{1}{{100}}\) (m³).

Khi đó, ta có phương trình: \[\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\]   (2)

Từ (1) và (2), suy ra hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 200\\\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có: \(x = 200 + y\), thế vào phương trình (2), ta được: \(\frac{4}{{200 + y}} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\).

Giải phương trình:

\(\frac{4}{{200 + y}} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\)

\(\frac{{400y}}{{100\left( {200 + y} \right)y}} + \frac{{300\left( {200 + y} \right)}}{{100y\left( {200 + y} \right)}} = \frac{{y\left( {200 + y} \right)}}{{100y\left( {200 + y} \right)}}\)

\(400y + 300\left( {200 + y} \right) = y\left( {200 + y} \right)\)

\(400y + 60\,\,000 + 300y = 200y + {y^2}\)

\({y^2} - 500y - 60\,\,000 = 0\)

\({y^2} + 100y - 600y - 60\,\,000 = 0\)

\(y\left( {y + 100} \right) - 600\left( {y + 100} \right) = 0\)

\(\left( {y + 100} \right)\left( {y - 600} \right) = 0\)

Suy ra \(y - 600 = 0\) (do \(y + 100 > 0\) với mọi \(y > 0)\)

Do đó \(y = 600\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 600\) vào phương trình \(x = 200 + y\), ta được \(x = 800\) (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng loại I và loại II lần lượt là \({\rm{800 kg/}}{{\rm{m}}^3}\) và \({\rm{600 kg/}}{{\rm{m}}^3}.\)

3. a) Đổi \(5,25\) tấn = \(5\,\,250\) kg.

Gọi \(x\) là số thùng bia mà xe có thể chở (\(x \in {\mathbb{N}^ * }\), đơn vị: thùng).

Khối lượng của \(x\) thùng bia là: \(6,7x\) (kg).

Tổng khối lượng của các thùng bia và bác tài xế là: \(6,7x + 65\) (kg).

Theo bài, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là \(5,25\) tấn nên ta có bất phương trình: \(65 + 6,7x \le 5\,\,250\).

b) Giải bất phương trình:

\(65 + 6,7x \le 5\,\,250\)

\(6,7x \le 5\,\,185\)

\(x \le \frac{{51\,\,850}}{{67}}\,\,\,\left( { \approx 773,88} \right)\).

Mà \(x \in {\mathbb{N}^ * }\) và cần tìm \(x\) có giá trị lớn nhất nên \(x = 773.\)

Vậy xe có thể chở được tối đa \(773\) thùng bia.