Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3. Góc ở tâm, góc nội tiếp có đáp án

Kẻ OH ⊥ MN tại H.

Xét ∆OMN cân tại O (do OM = ON = R) có OH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay H là trung điểm của MN.

Do đó \(HM = HN = \frac{{MN}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)

Xét ∆HMO vuông tại H, có:

\(\cos \widehat {HMO} = \frac{{HM}}{{OM}} = \frac{{\frac{{R\sqrt 3 }}{2}}}{R} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\) nên \(\widehat {HMO} = 30^\circ \)

Mà ∆OMN cân tại O nên ta có:

\(\widehat {MON} = 180^\circ - 2\widehat {HMO} = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ .\)

Suy ra số đo cung nhỏ MN là 120°, số đo cung lớn MN là 360° – 120° = 240°.

a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OA ⊥ AM; OB ⊥ BM.

Suy ra \(\widehat {OAM} = 90^\circ ,\,\,\widehat {OBM} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác AOBM, ta có:

\(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} + \widehat {AMB} + \widehat {AOB} = 360^\circ \)

Suy ra \(90^\circ + 90^\circ + 35^\circ + \widehat {AOB} = 360^\circ \)

Do đó \(\widehat {AOB} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 145^\circ .\)

b) Vì \(\widehat {AOB} = 145^\circ \) nên số đo cung nhỏ AB là 145° và số đo cung lớn AB là:

360° – 145° = 215°.

Ta có \(\widehat {OBC} = \widehat {CBO'}\) (vì BC là đường phân giác của \(\widehat {OBO'}).\) (1)

Do B, C thuộc đường tròn (O) nên OB = OC, suy ra ∆OBC cân tại O, do đó \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB}.\) (2)

Do B, D thuộc đường tròn (O’) nên O’B = O’D, suy ra ∆O’BD cân tại O’, do đó \(\widehat {CBO'} = \widehat {O'DB}.\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \widehat {CBO'} = \widehat {O'DB}.\)

Mặt khác, \(\widehat {BOC} = 180^\circ - \widehat {OBC} - \widehat {OCB}\) và \(\widehat {BO'D} = 180^\circ - \widehat {O'BD} - \widehat {ODB}.\)

Do đó \(\widehat {BOC} = \widehat {BO\prime D}.\)

a) Do AB là đường kính của đường tròn (O), P thuộc đường tròn (O), suy ra \(\widehat {APB} = 90^\circ .\)

Do đó \[\widehat {PAB} + \widehat {{B_1}} = 90^\circ \] (1)

Do tia AP cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại T nên AB ⊥ BT

Do đó \[\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 90^\circ \] (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\widehat {ATB} = \widehat {{B_1}}\)  

Mà \(\widehat {{B_1}} = \frac{1}{2}\widehat {AOP}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AP) nên \(\widehat {ATB} = \frac{1}{2}\widehat {AOP}\) hay \(\widehat {AOP} = 2\widehat {ATB}.\)

b) Do A, P thuộc đường tròn (O) nên AO = OP, do đó ∆AOP cân tại O, suy ra \(\widehat {PAO} = \widehat {APO}.\)

Mà \(\widehat {PAO} = \widehat {PBT}\) (cùng phụ với \(\widehat {{B_1}}),\) suy ra \(\widehat {APO} = \widehat {\;PBT}.\)

Do BH, CK là đường cao ∆ABC nên BH ⊥ AC, CK ⊥ AB.

Xét ∆ABH vuông tại H có \(\widehat {BAH} = 45^\circ \) nên \(\widehat {ABH} = 90^\circ - \widehat {BAH} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ .\)

Mặt khác, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) nên \(\widehat {ACD} = 45^\circ .\) (1)

Tương tự, ta có \(\widehat {ACK} = 90^\circ - \widehat {CAK} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ .\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {DCE} = \widehat {ACD} + \widehat {ACK} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {DCE}\) là góc nội tiếp chắn cung DE nên DE là đường kính của đường tròn (O).

Vậy ba điểm D, O, E thẳng hàng.