Cho đường tròn (O) đường kính AB và một dây cung AP. Tia AP cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại T. Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {AOP} = 2\widehat {ATB};\)

b) \(\widehat {APO} = \widehat {PBT}.\)

Vòng ngoài cùng của một guồng nước có dạng đường tròn tâm O, trên đó có đánh dấu 40 điểm chia đường tròn thành 40 cung bằng nhau để gắn các gàu lấy nước. Gọi M, N là hai điểm liên tiếp và P là một điểm khác M, N trong số các điểm nói trên. Tính số đo \(\widehat {MON},\,\,\widehat {MPN},\,\,\widehat {OMN}.\)

Cho tam giác nhọn ABC có \(\widehat {BAC} = 45^\circ \) và có các đỉnh nằm trên đường tròn (O). Các đường cao BH, CK cắt đường tròn (O) tại D, E. Chứng minh ba điểm D, O, E thẳng hàng.

Cho đường tròn (O; R) và dây cung \(MN = R\sqrt 3 .\) Tính số đo của mỗi cung $\stackrel{⏜}{MN}$ (cung lớn và cung nhỏ).

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường phân giác của \(\widehat {OBO\prime }\) cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai theo thứ tự là C và D. So sánh \(\widehat {BOC}\) và \(\widehat {BO\prime D}.\)

Tìm số đo các cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AL},\stackrel{⏜}{RM}$ và số đo θ của góc nội tiếp tương ứng trong mỗi hình sau:

Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M và \(\widehat {AMB} = 35^\circ .\)

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB.

b) Tính số đo mỗi cung $\stackrel{⏜}{AB}$  (cung lớn và cung nhỏ).