Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1. Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) có đáp án

a) Với A(–3; 27) ta thay x = ‒3; y = 27 vào hàm số y = ax² ta được:

27 = a.(‒3)² hay 9a = 27, suy ra a = 3.

Vậy y = 3x².

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; 12); B (‒1; 3); O(0; 0); C(1; 3); D(2; 12).

• Đồ thị của hàm số y = 3x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Với B(– 2; – 3) ta thay x = ‒2; y = ‒3 vào hàm số y = ax² ta được:

‒3 = a.(‒2)² hay 4a = ‒ 3, suy ra \(a = - \frac{3}{4}.\)

Vậy\(\;y = - \frac{3}{4}{x^2}\).

Ta có bảng giá trị của hàm số:

x	– 2	– 1	0	1	2
\(y = - \frac{3}{4}{x^2}\)	– 3	\( - \frac{3}{4}\)	0	\( - \frac{3}{4}\)	– 3

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; ‒3); \[B\left( { - 1; - \frac{3}{4}} \right);\] O(0; 0); \[C\left( {1; - \frac{3}{4}} \right);\] D(2; ‒3).

• Đồ thị của hàm số \(y = - \frac{3}{4}{x^2}\) là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; 3); \[B\left( { - 1;\frac{3}{4}} \right);\] O(0; 0); \[D\left( {1;\frac{3}{4}} \right);\] D(2; 3).

• Đồ thị của hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}\) là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) • Thay \[x = - \frac{2}{3},\] vào hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2},\) ta được:

\[\frac{3}{4} \cdot {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{3} \ne - \frac{1}{3}.\]

Do đó điểm \(\left( { - \frac{2}{3};\,\,\frac{1}{3}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2},\) còn điểm \(\left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{1}{3}} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}.\)

• Thay x = ‒4, vào hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2},\) ta được:

\[\frac{3}{4} \cdot {\left( { - 4} \right)^2} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12.\]

Do đó điểm (‒4; 12) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}.\)

• Thay x = 4, vào hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2},\) ta được:

\[\frac{3}{4} \cdot {4^2} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12 \ne 3.\]

Do đó điểm (4; 3) không thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}.\)

Vậy các điểm \(\left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right);\,\,\left( { - 4;12} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}.\)

a) ‒ Vẽ đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{3}{2}{x^2}\)

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(–2; 6); \(B\left( { - 1;\,\,\frac{3}{2}} \right),\) O(0; 0); \(B'\left( {1;\,\,\frac{3}{2}} \right),\) A’(2; 6).

• Đồ thị của hàm số \(y = \frac{3}{2}{x^2}\) là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

‒ Vẽ đường thẳng d: y = 3x.

Đồ thị của hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua các điểm O(0; 0) và A’(2; 6).

Đồ thị của hai hàm số \(y = \frac{3}{2}{x^2}\) và y = 3x được vẽ như sau:

b) Dựa vào hình vẽ, ta có các giao điểm của (P) và d là O(0; 0) và A’(2; 6).

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒4; ‒8); B (‒2; ‒2); O(0; 0); C(2; ‒2); D(4; ‒8).

• Đồ thị của hàm số \(y = - \frac{{{x^2}}}{2}\) là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt bằng 1 và – 2 nên x_A = 1; x_B = ‒2.

Thay toạ độ của điểm A(1; y_A) vào \(y = - \frac{{{x^2}}}{2},\) ta được \({y_A} = - \frac{{{1^2}}}{2} = - \frac{1}{2}.\)

Do đó \(A\left( {1; - \frac{1}{2}} \right).\)

Thay toạ độ của điểm B(‒2; y_B) vào \(y = - \frac{{{x^2}}}{2},\) ta được \({y_B} = - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} = - \frac{4}{2} = - 2.\)

Do đó B(– 2; – 2).

Điểm \(A\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay \(x = 1,\,\,y = - \frac{1}{2}\) vào hàm số y = ax + b, ta được: \( - \frac{1}{2} = a \cdot 1 + b\) hay \(a + b = - \frac{1}{2}.\) (1)

Điểm B(–2; –2) thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay x = –2, y = –2 vào hàm số y = ax + b, ta được: –2 = a.(–2) + b hay – 2a + b = – 2. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = - \frac{1}{2}}\\{ - 2a + b = - 2.}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(3a = \frac{3}{2},\) suy ra \(a = \frac{1}{2}.\)

Thay \(a = \frac{1}{2}\) vào phương trình \(a + b = - \frac{1}{2},\) ta được:

\(\frac{1}{2} + b = - \frac{1}{2},\) suy ra b = –1.

Vậy \(a = \frac{1}{2},\;\,\,b = - 1.\)

a) Do đồ thị (P) cắt đường thẳng d tại điểm B có hoành độ bằng 1 nên x = 1, thay vào hàm số y = –2x + 4, ta được y = ‒2.1 + 4 = ‒2 + 4 = 2.

Do đó B(1; 2).

Vì B(1; 2) cũng thuộc đồ thị (P): y = ax², nên ta có:

2 = a.1², suy ra a = 2.

Vậy (P): y = 2x².

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm M(‒2; 8); N(‒1; 2); O(0; 0); B(1; 2); Q(2; 8).

• Đồ thị của hàm số y = 2x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4 nên x = 4

Thay x = 4 vào hàm số y = 2x², ta được: y = 2.4² = 2.16 = 32.

Do đó A(4; 32).

Vì điểm A(4; 32) cũng thuộc d’ nên ta có:

32 = (m + 3).4 – 2

32 = 4m + 12 ‒ 2

4m = 22

\[m = \frac{{11}}{2}.\]

Vậy \[m = \frac{{11}}{2}\] thì đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4.

Từ Hình 4 ta có A(2; –4) và B(2; –2).

a) ⦁ Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số y = ax² nên thay x = 2; y = –4 vào hàm số y = ax², ta được

‒4 = a.2² hay 4a = ‒4, suy ra a = –1.

Do đó (P): y = –x².

⦁ Do điểm B thuộc đồ thị của hàm số y = a’x² nên thay toạ độ điểm x = 2; y = –2 vào hàm số y = a’x², ta được

‒2 = a.2² hay 4a = ‒2, suy ra \(a' = - \frac{1}{2}.\)

Do đó \(\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.\)

b) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số (P): y = –x² là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Mà hai điểm A, A’ đối xứng với nhau qua trục tung và A thuộc (P) nên điểm A’ cũng thuộc (P): y = –x².

Cách 2. Điểm A’ đối xứng với điểm A qua trục tung nên ta có A’(–2; –4).

Thay x = –2 vào hàm số y = –x², ta được: y = –(–2)² = –4.

Do đó điểm A’(–2; –4) cũng thuộc (P): y = –x².

c) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số \(\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}\) là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Xét điểm M(4; b) và M’(–4; b) là hai điểm có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau nên M, M’ là hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung, mà điểm M(4; b) thuộc đồ thị (P’) nên điểm M’(–4; b) cũng thuộc \(\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.\)

Cách 2. Do điểm M(4; b) thuộc đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2},\) nên thay x = 4; y = b vào hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2},\) ta được

\[b = - \frac{1}{2} \cdot {4^2}\] suy ra b = –8.

Do đó M(4; –8) và M’(–4; –8).

Thay x = –4 vào hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2},\) ta được:

\(y = - \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 4} \right)^2} = - \frac{1}{2} \cdot 16 = - 8.\)

Vậy điểm M’(–4; –8) thuộc \(\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.\)