Cho biết điểm A thuộc đồ thị của hàm số y = ax², điểm B thuộc đồ thị của hàm số y = a’x².

a) Xác định các hệ số a và a’.

b) Lấy điểm A’ đối xứng với A qua trục tung. Điểm A’ có thuộc đồ thị của hàm số y = ax² không? Vì sao?

c) Biết rằng điểm M(4; b) thuộc đồ thị của hàm số y = a’x², hãy tính b. Điểm M’(– 4; b) có thuộc đồ thị của hàm số y = a’x² không? Vì sao?

Từ Hình 4 ta có A(2; –4) và B(2; –2).

a) ⦁ Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số y = ax² nên thay x = 2; y = –4 vào hàm số y = ax², ta được

‒4 = a.2² hay 4a = ‒4, suy ra a = –1.

Do đó (P): y = –x².

⦁ Do điểm B thuộc đồ thị của hàm số y = a’x² nên thay toạ độ điểm x = 2; y = –2 vào hàm số y = a’x², ta được

‒2 = a.2² hay 4a = ‒2, suy ra \(a' = - \frac{1}{2}.\)

Do đó \(\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.\)

b) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số (P): y = –x² là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Mà hai điểm A, A’ đối xứng với nhau qua trục tung và A thuộc (P) nên điểm A’ cũng thuộc (P): y = –x².

Cách 2. Điểm A’ đối xứng với điểm A qua trục tung nên ta có A’(–2; –4).

Thay x = –2 vào hàm số y = –x², ta được: y = –(–2)² = –4.

Do đó điểm A’(–2; –4) cũng thuộc (P): y = –x².

c) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số \(\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}\) là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Xét điểm M(4; b) và M’(–4; b) là hai điểm có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau nên M, M’ là hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung, mà điểm M(4; b) thuộc đồ thị (P’) nên điểm M’(–4; b) cũng thuộc \(\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.\)

Cách 2. Do điểm M(4; b) thuộc đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2},\) nên thay x = 4; y = b vào hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2},\) ta được

\[b = - \frac{1}{2} \cdot {4^2}\] suy ra b = –8.

Do đó M(4; –8) và M’(–4; –8).

Thay x = –4 vào hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2},\) ta được:

\(y = - \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 4} \right)^2} = - \frac{1}{2} \cdot 16 = - 8.\)

Vậy điểm M’(–4; –8) thuộc \(\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.\)