Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án

a) 3x² + 7x = 0

x(3x + 7) = 0

x = 0 hoặc 3x + 7 = 0

x = 0 hoặc \(x = - \frac{7}{3}.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và \(x = - \frac{7}{3}.\)

b) \(\frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{{15}} = 0\)

\(\frac{2}{3}{x^2} = \frac{4}{{15}}\)

\[{x^2} = \frac{4}{{15}}:\frac{2}{3}\]

\({x^2} = \frac{4}{{15}} \cdot \frac{3}{2}\)

\[{x^2} = \frac{2}{5}\]

\[x = \sqrt {\frac{2}{5}} \] hoặc \[x = - \sqrt {\frac{2}{5}} \]

 \(x = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\) hoặc \(x = - \frac{{\sqrt {10} }}{5}.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\) và \(x = - \frac{{\sqrt {10} }}{5}.\)

c) y² – 6y + 8 = 0

y² – 4y – 2y + 8 = 0

y(y – 4) – 2(y – 4) = 0

(y – 4)(y – 2) = 0

y ‒ 4 = 0 hoặc y ‒ 2 = 0

y = 4 hoặc y = 2.

Vậy phương trình có hai nghiệm là y = 4 và y = 2.

d) (x – 2)² = (x – 2)(3x + 5)

(x – 2)² – (x – 2)(3x + 5) = 0

(x ‒ 2)(x ‒ 2 ‒ 3x ‒ 5) = 0

(x – 2)(–2x – 7) = 0

x ‒ 2 = 0 hoặc ‒2x ‒ 7 = 0

x = 2 hoặc \(x = - \frac{7}{2}.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và \(x = - \frac{7}{2}.\)

a) 2x² – 5x + 2 = 0

Ta có: a = 2, b = ‒5, c = 2, ∆ = (‒5)² ‒ 4.2.2 = 25 ‒ 16 = 9 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 + 3}}{4} = \frac{8}{4} = 2;\]

\[{x_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 - 3}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.\]

b) – x² + 11x – 30 = 0

Ta có: a = ‒1, b = 11, c = ‒30, ∆ = 11² ‒ 4.(‒1).(‒30) = 121 ‒ 120 = 1 > 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt 1 }}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 11 + 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 10}}{{ - 2}} = 5;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt 1 }}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 11 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 12}}{{ - 2}} = 6.\]

c) 5x² – 7x – 6 = 0

Ta có: a = 5, b = ‒7, c = ‒6, ∆ = (‒7)² ‒ 4.5.(‒6) = 49 + 120 = 169 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {169} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{7 + 13}}{{10}} = \frac{{20}}{{10}} = 2;\]

\[{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {169} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{7 - 13}}{{10}} = \frac{{ - 6}}{{10}} = - \frac{3}{5}.\]

d) \[5{x^2}--2\sqrt 5 x + 1 = 0\]

Ta có: a = 5, \[b = - 2\sqrt 5 ,\] c = 1, \[\Delta = {\left( { - 2\sqrt 5 } \right)^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 20 - 20 = 0.\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép là

\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - \left( { - 2\sqrt 5 } \right)}}{{2 \cdot 5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

e) \(\frac{1}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x = \frac{1}{2}\)

 x² + 2x ‒ 8 = 0.

Ta có a = 1, b = 2, c = ‒8, ∆ = 2² ‒ 4.1.(‒8) = 4 + 32 = 36 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 2 + \sqrt {36} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = \frac{4}{2} = 2;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 2 - \sqrt {36} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2 - 6}}{2} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4.\]

g) \({x^2} - \left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)x - \sqrt {10} = 0.\)

Ta có \[a = 1,\,\,b = - \sqrt 5 + \sqrt 2 ,\,\,c = - \sqrt {10} ,\]

\[\Delta = {\left[ { - \left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - \sqrt {10} } \right)\]

   \[ = 5 - 2\sqrt {10} + 2 + 4\sqrt {10} \]

   \[ = 5 + 2\sqrt {10} + 2 = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)^2} > 0.\]

Nên \(\sqrt \Delta   = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right| = \sqrt 5 + \sqrt 2 .\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 2 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 ;\]

\[{x_1} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 2 - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{2} = - \sqrt 2 .\]

a) (x – 1)(2x + 3) = x² + x

2x² + 3x ‒ 2x ‒ 3 = x² + x

2x² + 3x ‒ 2x ‒ 3 ‒ x² ‒ x = 0

x² ‒ 3 = 0

x² = 3

\(x = \sqrt 3 \) hoặc \(x = - \sqrt 3 .\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \sqrt 3 \) và \(x = - \sqrt 3 .\)

b) 4x(3x – 2) – 9x + 6 = 0

12x² ‒ 8x ‒ 9x + 6 = 0

12x² ‒ 17x + 6 = 0

Ta có a = 12, b = ‒17, c = 6, ∆ = (‒17)² ‒ 4.12.6 = 289 ‒ 288 = 1 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 17} \right) + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 12}} = \frac{{17 + 1}}{{24}} = \frac{{18}}{{24}} = \frac{3}{4};\)

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 17} \right) - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 12}} = \frac{{17 - 1}}{{24}} = \frac{{16}}{{24}} = \frac{2}{3}.\)

c) (x + 4)² – (2x – 1)(2x + 1) = 14

x² + 8x + 16 ‒ (4x² ‒ 1) ‒ 14 = 0

x² + 8x + 16 ‒ 4x² + 1 ‒ 14 = 0

‒3x² + 8x + 3 = 0

Ta có a = ‒3, b’ = 4, c = 3, ∆’ = 4² ‒ (‒3).3 = 16 + 9 = 25 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 4 + \sqrt {25} }}{{ - 3}} = \frac{{ - 4 + 5}}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 3}} = - \frac{1}{3};\]

\[{x_2} = \frac{{ - 4 - \sqrt {25} }}{{ - 3}} = \frac{{ - 4 - 5}}{{ - 3}} = \frac{{ - 9}}{{ - 3}} = 3.\]

d) (x + 3)(x + 4) – 4x = 20.

x² + 4x + 3x + 12 ‒ 4x – 20 = 0

x² + 3x ‒ 8 = 0

Ta có a = 1, b = 3, c = ‒8, ∆ = 3² ‒ 4.1.(‒8) = 9 + 32 = 41 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2};\] \[{x_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}.\]

Gọi x (km/h) là tốc độ của tàu chở hàng (x > 3).

Tốc độ của tàu khi xuôi dòng là x + 3 (km/h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng từ A đến B là \(\frac{{40}}{{x + 3}}\) (giờ).

Tốc độ của tàu khi ngược dòng là x – 3 (km/h).

Thời gian tàu đi ngược dòng từ B đến C là \(\frac{{40 - 8}}{{x - 3}} = \frac{{32}}{{x - 3}}\) (giờ).

Theo bài, thời gian cả đi lẫn về không kể thời gian giao hàng là 2 giờ 40 phút = \(\frac{8}{3}\) giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{x + 3}} + \frac{{32}}{{x - 3}} = \frac{8}{3}.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{40}}{{x + 3}} + \frac{{32}}{{x - 3}} = \frac{8}{3}\)

\(\frac{{40 \cdot 3\left( {x - 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{32 \cdot 3\left( {x + 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{8\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

40.3(x – 3) + 32.3(x + 3) = 8(x + 3)(x – 3)

120x ‒ 360 + 96x + 288 = 8(x² ‒ 9)

216x – 72 = 8x² – 72

8x² ‒ 216x = 0

8x(x ‒ 27) = 0

x = 0 hoặc x ‒ 27 = 0

x = 0 (không thỏa mãn) hoặc x = 27 (thoả mãn).

Vậy tốc độ của tàu chở hàng là 27 km/h.

Gọi x (m) là chiều dài mảnh đất lúc đầu (x > 5).

Chiều rộng của mảnh đất lúc đầu là \(\frac{2}{3}x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mảnh đất lúc đầu là: \[x \cdot \frac{2}{3}x = \frac{2}{3}{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Chiều dài của mảnh đất sau khi giảm là x – 5 (m).

Chiều rộng của mảnh đất sau khi giảm là \(\frac{2}{3}x - 5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mảnh đất sau khi giảm là: \[\left( {x - 5} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right){\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Diện tích mảnh đất còn lại bằng 84% diện tích lúc đầu nên ta có phương trình:

\(\left( {x - 5} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 84\% \cdot \frac{2}{3}{x^2}.\)

Giải phương trình:

\(\left( {x - 5} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 84\% \cdot \frac{2}{3}{x^2}\)

\(\frac{2}{3}{x^2} - 5x - \frac{{10}}{3}x + 25 = \frac{{14}}{{25}}{x^2}\)

50x² – 375x – 250x + 1 875 – 42x² = 0

8x² – 625x + 1 875 = 0

Ta có a = 8, b = ‒625, c = 1 875, ∆ = (‒625)² ‒ 4 . 8 . 1 875 = 330 625 > 0 và \(\sqrt \Delta   = \sqrt {330\,\,625} = 575.\)

Vậy phương tình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{625 + 575}}{{2 \cdot 8}} = \frac{{1\,\,200}}{{16}} = 75;\]

\[{x_2} = \frac{{625 - 575}}{{2 \cdot 8}} = \frac{{50}}{{16}} = 3,125.\]

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 75 thoả mãn điều kiện.

Do đó mảnh đất lúc đầu có chiều dài là 75 m, chiều rộng là \[\frac{2}{3} \cdot 75 = 50{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy diện tích mảnh đất lúc đầu là 75.50 = 3 750 m².