a) $\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{15}} = \frac{5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{15}}{{(\sqrt{15})}^{2}} = \frac{5 \sqrt{2 \cdot 15}}{15} = \frac{5 \sqrt{30}}{15} = \frac{\sqrt{30}}{3} .$

b) $- \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{18}} = - \frac{2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{18}}{{(\sqrt{18})}^{2}} = - \frac{2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{18} = - \frac{2 \sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{2}}{18} = \frac{6 \sqrt{5 \cdot 2}}{18} = \frac{\sqrt{10}}{3} .$

c) Với a > 0, b > 0, ta có:

$\frac{6 a}{\sqrt{2 a b^{2}}} = \frac{6 a}{\sqrt{2 a} \cdot \sqrt{b^{2}}} = \frac{6 a}{\sqrt{2 a} \cdot b} = \frac{6 a \cdot \sqrt{2 a}}{b \cdot {(\sqrt{2 a})}^{2}} = \frac{6 a \sqrt{2 a}}{b \cdot 2 a} = \frac{3 \sqrt{2 a}}{b}$

Câu 2

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{10}{11}};$ b) $\sqrt{\frac{42}{300}};$ c) $\sqrt{\frac{5 a}{12 b}} .$ (a ≥ 0; b > 0)

Xem đáp án

Lời giải

a) $\sqrt{\frac{10}{11}} = \sqrt{\frac{10 \cdot 11}{11^{2}}} = \frac{\sqrt{110}}{\sqrt{11^{2}}} = \frac{\sqrt{110}}{11} .$

b) $\sqrt{\frac{42}{300}} = \sqrt{\frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 100}} = \sqrt{\frac{14}{100}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{10^{2}}} = \frac{\sqrt{14}}{10} .$

c) $\sqrt{\frac{5 a}{12 b}} = \sqrt{\frac{5 a}{4 \cdot 3 b}} = \sqrt{\frac{5 a}{2^{2} \cdot 3 b}} = \sqrt{\frac{5 a \cdot 3 b}{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot b^{2}}} = \frac{\sqrt{15 a b}}{\sqrt{{(2 \cdot 3)}^{2} \cdot b^{2}}} = \frac{\sqrt{15 a b}}{6 b} .$

Câu 3

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2};$ b) $\frac{1}{\sqrt{2} (\sqrt{5} - 1)};$ c) $\frac{x - 1}{2 \sqrt{x} - \sqrt{x + 3}}$ (x ≥ 0, x ≠ 1).

Xem đáp án

Lời giải

a) $\frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2} = \frac{{(\sqrt{6} + 2)}^{2}}{(\sqrt{6} - 2) (\sqrt{6} + 2)}$

$\begin{array}{l} = \frac{{(\sqrt{6})}^{2} + 2 \sqrt{6} \cdot 2 + 4}{{(\sqrt{6})}^{2} - 2^{2}} = \frac{6 + 4 \sqrt{6} + 4}{6 - 4} \\ = \frac{10 + 4 \sqrt{6}}{2} = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{6})}{2} = 5 + 2 \sqrt{6} . \end{array}$

b) $\begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{2} (\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} + 1)}{{(\sqrt{2})}^{2} \cdot (\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} \\ = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \cdot [{(\sqrt{5})}^{2} - 1^{2}]} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \cdot (5 - 1)} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{8} . \end{array}$

c) Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2 \sqrt{x} - \sqrt{x + 3}} = \frac{(x - 1) (2 \sqrt{x} + \sqrt{x + 3})}{(2 \sqrt{x} - \sqrt{x + 3}) (2 \sqrt{x} + \sqrt{x + 3})} \\ = \frac{(x - 1) (2 \sqrt{x} + \sqrt{x + 3})}{{(2 \sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{x + 3})}^{2}} \\ = \frac{(x - 1) (2 \sqrt{x} + \sqrt{x + 3})}{4 x - (x + 3)} \\ = \frac{(x - 1) (2 \sqrt{x} + \sqrt{x + 3})}{3 x - 3} \\ = \frac{(x - 1) (2 \sqrt{x} + \sqrt{x + 3})}{3 (x - 1)} \\ = \frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{x + 3}}{3} . \end{array}$

Câu 4

Cho hình hộp chữ nhật với chiều dài $3 \sqrt{5}$ cm, chiều rộng $\sqrt{5}$ cm và thể tích $30 \sqrt{5}$ cm³ như Hình 1. Tính tổng độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật đó.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều cao hình hộp chữ nhật là h (cm) (h > 0).

Khi đó, thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

$3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot h = 3 \cdot 5 \cdot h = 15 h$ (cm³).

Theo bài, thể tích của hình hộp chữ nhật bằng $30 \sqrt{5}$ cm nên ta có:

$15 h = 30 \sqrt{5},$ suy ra: $h = \frac{30 \sqrt{5}}{15} = 2 \sqrt{5}$ (cm).

Tổng độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật là:

$4 \cdot (3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{5}) = 4 \cdot 6 \sqrt{5} = 24 \sqrt{5}$ cm.

Câu 5

Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} : \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}};$
b) $\sqrt{75} : \sqrt{45} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} .$

Xem đáp án

Lời giải

a) $\begin{array}{l} \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} : \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8 \cdot 18} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \\ = \sqrt{144} \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{{(\sqrt{5})}^{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5} = \frac{12 \sqrt{10}}{5} . \end{array}$

b) $\begin{array}{l} \sqrt{75} : \sqrt{45} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{45}} \cdot \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 5}} \\ = \sqrt{\frac{75}{45}} \cdot \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} \\ = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} . \end{array}$