Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 3

a) ⦁ Xét biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}\].

Với \(x \ge 0,\) ta luôn có \(\sqrt x + 7 > 0.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ge 0.\)

⦁ Xét biểu thức \(B = \frac{x}{{x - 4}} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\).

Với \(x \ge 0,\) ta có \[x - 4 = \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right).\]

Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0,\,\,x - 4 \ne 0\) tức là \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)

b) Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\[A = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 7}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 7}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}.\]

Vậy \(A = \frac{1}{4}\) khi \(x = 25.\)

c) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\) ta có:

\(B = \frac{x}{{x - 4}} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\)

 \( = \frac{x}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{x + \sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)\( = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\)

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\)

d) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\) ta có: \(P = AB = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)\[ = \frac{x}{{\sqrt x + 7}}.\]

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\) ta cũng có \(P \ge 0\). Khi đó, \(\sqrt P \le \frac{1}{2}\) suy ra \(P \le \frac{1}{4}.\)

Ta có: \(P \le \frac{1}{4}\)

\[\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 7}} \le \frac{1}{4}\]

\[\frac{{4\sqrt x }}{{4\left( {\sqrt x + 7} \right)}} \le \frac{{\sqrt x + 7}}{{4\left( {\sqrt x + 7} \right)}}\]

\[4\sqrt x \le \sqrt x + 7\]

\[3\sqrt x \le 7\]

\[\sqrt x \le \frac{7}{3}\]

\[x \le \frac{{49}}{9}\]

Kết hợp các điều kiện, ta có \[0 \le x \le \frac{{49}}{9};\,\,x \ne 4.\]

Mà \[x\] nguyên nên \[x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}\]

Vậy \[x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,5} \right\}\].

1. a) Điều kiện xác định: \(x \ne 0,x \ne 2\).

Ta có: \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{1}{x} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)

\(\frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)

\(x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2\)

\({x^2} + 2x - x + 2 - 2 = 0\)

\({x^2} + x = 0\)

\(x\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 0\) (loại) hoặc \(x = - 1\) (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 1\).