12 bài tập Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên có lời giải

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, x ≠ \(\frac{9}{4}\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\).

Có P = \(\frac{B}{A}\) = \(\frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{4\sqrt x - 6}} = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}\).

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} = \frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}\) (vì x > 0 nên \(\sqrt x > 0\)).

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi \(\frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}\) nguyên

hay \(2 - \frac{3}{{\sqrt x }}\) ∈ Ư(1) = {1; −1}.

Khi đó P = 1 hoặc P = −1.

Với P = 1 hay \(2 - \frac{3}{{\sqrt x }}\) = 1 khi \(\sqrt x \) = 3 suy ra x = 9 (thỏa mãn).

Với P = −1 hay \(2 - \frac{3}{{\sqrt x }} = - 1\) khi \(\sqrt x = 1\) suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 9} thì P nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).

Vậy B = \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: P = A.B = \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\).

Xét P = 0 khi \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0\) suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Xét P ≠ 0.

TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).

TH2: x ∈ ℤ; \(\sqrt x \)∈ ℤ.

Ta có: \(P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\).

Để P ∈ ℤ thì \(\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ.

Do đó, \(\left( {\sqrt x + 2} \right) \in \)Ư(3).

Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.

Do \(\sqrt x + 2\) ≥ 2 nên \(\sqrt x + 2\) = 3 suy ra \(\sqrt x = 1\) suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

\(A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x - 3}}\)

\(A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{3\sqrt x - 21 + 2\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{5\sqrt x - 15}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 3}}\).

Để A nhận giá trị nguyên thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 3}}\) nguyên.

Suy ra \(\sqrt x + 3\) là Ư(5).

Mà Ư(5) = {1; 5; −1; −5}.

Nhận thấy \(\sqrt x + 3\) ≥ 3 với vọi x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, \(\sqrt x + 3\) = 5, suy ra \(\sqrt x \) = 2 do đó, x = 4 (thỏa mãn).

Vậy x = 4 thì A nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có:

\(M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\)

\(M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(M = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(M = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(M = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\).

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, M = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\).

Để M nguyên thì \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}}\) nguyên hay \(\sqrt x - 3\) là Ư(4).

Mà Ư(4) = {1; 4; −1; −4; 2; −2}.

• Với \(\sqrt x - 3\) = 1 suy ra x = 16 (thỏa mãn).

• Với \(\sqrt x - 3\) = −1 suy ra x = 4 (loại).

• Với \(\sqrt x - 3\) = 2 suy ra x = 25 (thỏa mãn).

• Với \(\sqrt x - 3\) = −2 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

• Với \(\sqrt x - 3\) = 4 suy ra x = 49 (thỏa mãn).

• Với \(\sqrt x - 3\) = −4 suy ra \(\sqrt x \) = −1 (loại).

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {1; 25; 16; 49}.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x + 15}}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}\)

\(A = \frac{{\left( {\sqrt x + 15} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x + 15\sqrt x - x\sqrt x - 3x + 2x\sqrt x + 5x - 6x - 15\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x\sqrt x - 3x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\).

Với x > 0, x ≠ 9 có \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\) > 0.

Lại có: A = \(1 - \frac{3}{{\sqrt {x + 3} }} < 1\).

Do đó 0 < A < 1.

Vậy không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 và x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{x - \sqrt x - 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x - 2}}\).

Ta có: P = A : B = \(\frac{{9 - 3\sqrt x }}{{x - 4}}:\frac{{\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{3\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( { - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\).

Có \(P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).

Do x ≥ 0 suy ra 0 < \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}}\) ≤ \(\frac{5}{2}\).

Đêt P nguyên thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}}\) nhận giá trị nguyên.

Do đó P = 1 hoặc P = 2.

Với P = 1 thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1\) hay \(\sqrt x + 2\) = 5 suy ra x = 9 .

Với P = 2 thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2\) hay \(\sqrt x + 2 = \frac{5}{2}\) suy ra x = \(\frac{1}{4}\).

Thử lại:

Khi x = 9 thì P = 0 (loại).

Khi x = \(\frac{1}{4}\) thì P = −1 (thỏa mãn).

Vậy x = \(\frac{1}{4}\).