Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{x - \sqrt x - 7}}{{x + \sqrt x - 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }}\)

với x ≥ 0; x ≠ 4.

a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị nguyên của x để M = A.B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{{x - \sqrt x - 7}}{{x + \sqrt x - 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }}\)

\(B = \frac{{x - \sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - \sqrt x - 7 + x - 4 - x + 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\).

b) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

M = A.B = \(\frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\). \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 3}}\).

Hay \(M = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - 9 + 6}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + 6}}{{\sqrt x + 3}} = \sqrt x - 3 + \frac{6}{{\sqrt x + 3}}\).

Xét x = 3 thì M = 0 (thỏa mãn). Vậy x = 3 thỏa mãn.

Xét x ≠ 3, x ∈ ℤ nhưng \(\sqrt x \notin \mathbb{Z}\). Do đó M \( \notin \mathbb{Z}\).

Xét x ∈ ℤ, \(\sqrt x \in \mathbb{Z}\) suy ra M ∈ ℤ:

Suy ra \(\frac{6}{{\sqrt x + 3}}\) là số nguyên hay \(\sqrt x + 3\) là Ư(6).

Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6; −1; −2; −3; −6}.

Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\) với mọi x ≥ 0; x ≠ 4.

Suy ra \(\sqrt x + 3 = 3\) hoặc \(\sqrt x + 3 = 6\).

Do đó, x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 9 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {0; 3; 9} thì M nhận giá trị nguyên.