Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{2\sqrt x + 1}} - \frac{{5\sqrt x - 7}}{{2x - 3\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 3}}{{5x - 10\sqrt x }}\)  (x > 0, x ≠ 4).

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

a) Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

\(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{2\sqrt x + 1}} - \frac{{5\sqrt x - 7}}{{2x - 3\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 3}}{{5x - 10\sqrt x }}\)

\(A = \left[ {\frac{{2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{5\sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5x - 10\sqrt x }}{{2\sqrt x + 3}}\)

\(A = \left[ {\frac{{4\sqrt x + 2 + 3\sqrt x - 6 - 5\sqrt x + 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\sqrt x + 3}}\)

\(A = \left[ {\frac{{2\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\sqrt x + 3}}\)

\(A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\).

b) Ta có: \(\sqrt x \) > 0 với mọi x > 0, x ≠ 4 nên \(A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\) > 0 với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: \(A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = \frac{5}{2} - \frac{5}{{2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} < \frac{5}{2}\) với x > 0, x ≠ 4.

Do đó, 0 < A < \(\frac{5}{2}\).

Để A nhận giá trị nguyên thì A = 1 hoặc A = 2.

Với A = 1, suy ra \(\frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = 1\) hay \(5\sqrt x = 2\sqrt x + 1\) suy ra \(\sqrt x = \frac{1}{3}\) khi x = \(\frac{1}{9}\) (thỏa mãn).

Với A = 2, suy ra \(\frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = 2\) hay \(5\sqrt x = 4\sqrt x + 2\) suy ra \(\sqrt x = 2\) khi x = 4 (loại).

Vậy với x = \(\frac{1}{9}\) thì A nhận giá trị nguyên.