Câu hỏi:

09/01/2025 464

Cho biểu thức \(A = \frac{{9 - 3\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{x - \sqrt x - 2}}\)

với x ≥ 0 và x ≠ 4.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm x ∈ ℝ để biểu thức P = A : B nhận giá trị là một số nguyên âm.

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 và x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{x - \sqrt x - 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x - 2}}\).

Ta có: P = A : B = \(\frac{{9 - 3\sqrt x }}{{x - 4}}:\frac{{\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{3\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( { - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\).

Có \(P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).

Do x ≥ 0 suy ra 0 < \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}}\) ≤ \(\frac{5}{2}\).

Đêt P nguyên thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}}\) nhận giá trị nguyên.

Do đó P = 1 hoặc P = 2.

Với P = 1 thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1\) hay \(\sqrt x + 2\) = 5 suy ra x = 9 .

Với P = 2 thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2\) hay \(\sqrt x + 2 = \frac{5}{2}\) suy ra x = \(\frac{1}{4}\).

Thử lại:

Khi x = 9 thì P = 0 (loại).

Khi x = \(\frac{1}{4}\) thì P = −1 (thỏa mãn).

Vậy x = \(\frac{1}{4}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

với x > 0, x ≠ 4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án » 09/01/2025 4,369

Câu 2:

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với x ≥ 0; x ≠ 4. Tìm x nguyên để A.B có giá trị nguyên.

Xem đáp án » 09/01/2025 2,104

Câu 3:

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{2\sqrt x + 1}} - \frac{{5\sqrt x - 7}}{{2x - 3\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 3}}{{5x - 10\sqrt x }}\)  (x > 0, x ≠ 4).

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

Xem đáp án » 09/01/2025 941

Câu 4:

Cho biểu thức \(M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\) với x ≥ 0; x ≠ 4;

x ≠ 9.

a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Xem đáp án » 09/01/2025 921

Câu 5:

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\) với x > 0, x ≠ 4 và

x ≠ \(\frac{9}{4}\). Tính giá trị nguyên của x để P = \(\frac{B}{A}\) nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án » 09/01/2025 746

Câu 6:

Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{x - \sqrt x - 7}}{{x + \sqrt x - 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }}\)

với x ≥ 0; x ≠ 4.

a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị nguyên của x để M = A.B nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án » 09/01/2025 661

Bình luận


Bình luận