Cho biểu thức \(A = \frac{{9 - 3\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{x - \sqrt x - 2}}\)

với x ≥ 0 và x ≠ 4.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm x ∈ ℝ để biểu thức P = A : B nhận giá trị là một số nguyên âm.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 và x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{x - \sqrt x - 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x - 2}}\).

Ta có: P = A : B = \(\frac{{9 - 3\sqrt x }}{{x - 4}}:\frac{{\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{3\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( { - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\).

Có \(P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).

Do x ≥ 0 suy ra 0 < \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}}\) ≤ \(\frac{5}{2}\).

Đêt P nguyên thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}}\) nhận giá trị nguyên.

Do đó P = 1 hoặc P = 2.

Với P = 1 thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1\) hay \(\sqrt x + 2\) = 5 suy ra x = 9 .

Với P = 2 thì \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2\) hay \(\sqrt x + 2 = \frac{5}{2}\) suy ra x = \(\frac{1}{4}\).

Thử lại:

Khi x = 9 thì P = 0 (loại).

Khi x = \(\frac{1}{4}\) thì P = −1 (thỏa mãn).

Vậy x = \(\frac{1}{4}\).