Cho biểu thức \(M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\) với x ≥ 0; x ≠ 4;

x ≠ 9.

a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có:

\(M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\)

\(M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(M = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(M = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(M = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\).

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, M = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\).

Để M nguyên thì \(\frac{4}{{\sqrt x - 3}}\) nguyên hay \(\sqrt x - 3\) là Ư(4).

Mà Ư(4) = {1; 4; −1; −4; 2; −2}.

• Với \(\sqrt x - 3\) = 1 suy ra x = 16 (thỏa mãn).

• Với \(\sqrt x - 3\) = −1 suy ra x = 4 (loại).

• Với \(\sqrt x - 3\) = 2 suy ra x = 25 (thỏa mãn).

• Với \(\sqrt x - 3\) = −2 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

• Với \(\sqrt x - 3\) = 4 suy ra x = 49 (thỏa mãn).

• Với \(\sqrt x - 3\) = −4 suy ra \(\sqrt x \) = −1 (loại).

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {1; 25; 16; 49}.