Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

với x > 0, x ≠ 4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).

Vậy B = \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: P = A.B = \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\).

Xét P = 0 khi \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0\) suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Xét P ≠ 0.

TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).

TH2: x ∈ ℤ; \(\sqrt x \)∈ ℤ.

Ta có: \(P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\).

Để P ∈ ℤ thì \(\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ.

Do đó, \(\left( {\sqrt x + 2} \right) \in \)Ư(3).

Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.

Do \(\sqrt x + 2\) ≥ 2 nên \(\sqrt x + 2\) = 3 suy ra \(\sqrt x = 1\) suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.