Câu hỏi:
09/01/2025 57,932Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với x ≥ 0; x ≠ 4. Tìm x nguyên để A.B có giá trị nguyên.
Quảng cáo
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:
\(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 11 - x + 2\sqrt x + 2x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{{x + 4\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}}\).
Ta có: P = A.B = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}\).
Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{4}{{\sqrt x + 2}}\) nguyên.
Suy ra \(\sqrt x + 2\) là ước của 4.
Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 2\) với x ≥ 0; x ≠ 4 nên \(\sqrt x + 2\) = 2 hoặc \(\sqrt x + 2\) = 4.
Suy ra x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 4 (loại).
Vậy x = 0 thì P = A.B nhận giá trị nguyên.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Với x > 0, x ≠ 4, ta có:
\(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).
Vậy B = \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với x > 0, x ≠ 4.
Ta có: P = A.B = \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\).
Xét P = 0 khi \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0\) suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).
Xét P ≠ 0.
TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).
TH2: x ∈ ℤ; \(\sqrt x \)∈ ℤ.
Ta có: \(P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\).
Để P ∈ ℤ thì \(\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ.
Do đó, \(\left( {\sqrt x + 2} \right) \in \)Ư(3).
Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.
Do \(\sqrt x + 2\) ≥ 2 nên \(\sqrt x + 2\) = 3 suy ra \(\sqrt x = 1\) suy ra x = 1 (thỏa mãn).
Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Với x > 0, x ≠ 4, ta có:
\(A = \left( {\frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{2\sqrt x + 1}} - \frac{{5\sqrt x - 7}}{{2x - 3\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 3}}{{5x - 10\sqrt x }}\)
\(A = \left[ {\frac{{2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{5\sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5x - 10\sqrt x }}{{2\sqrt x + 3}}\)
\(A = \left[ {\frac{{4\sqrt x + 2 + 3\sqrt x - 6 - 5\sqrt x + 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\sqrt x + 3}}\)
\(A = \left[ {\frac{{2\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{5\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\sqrt x + 3}}\)
\(A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\).
b) Ta có: \(\sqrt x \) > 0 với mọi x > 0, x ≠ 4 nên \(A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\) > 0 với x > 0, x ≠ 4.
Ta có: \(A = \frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = \frac{5}{2} - \frac{5}{{2\left( {2\sqrt x + 1} \right)}} < \frac{5}{2}\) với x > 0, x ≠ 4.
Do đó, 0 < A < \(\frac{5}{2}\).
Để A nhận giá trị nguyên thì A = 1 hoặc A = 2.
Với A = 1, suy ra \(\frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = 1\) hay \(5\sqrt x = 2\sqrt x + 1\) suy ra \(\sqrt x = \frac{1}{3}\) khi x = \(\frac{1}{9}\) (thỏa mãn).
Với A = 2, suy ra \(\frac{{5\sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = 2\) hay \(5\sqrt x = 4\sqrt x + 2\) suy ra \(\sqrt x = 2\) khi x = 4 (loại).
Vậy với x = \(\frac{1}{9}\) thì A nhận giá trị nguyên.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.