Câu hỏi:
09/01/2025 8,191
Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\)
(x ≥ 0, x ≠ 16). Hãy tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M = B(A – 1) là số nguyên.
Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\)
(x ≥ 0, x ≠ 16). Hãy tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M = B(A – 1) là số nguyên.
Quảng cáo
Trả lời:
Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:
\(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\)
\(B = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}} \right].\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 16}}\)
\(B = \frac{{x - 4\sqrt x + 4\sqrt x + 16}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {x + 16} \right)}}\)
\(B = \frac{{x + 16}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {x + 16} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}\).
Ta có: M = B(A – 1)
= \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\left[ {\frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}} - 1} \right]\)
= \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\frac{{\sqrt x + 4 - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\)
= \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\frac{2}{{\sqrt x + 2}} = \frac{2}{{x - 16}}\).
Để M = B(A – 1) nguyên, x nguyên thì x – 16 là ước của 2.
Mà Ư(2) = {−1; 1; 2; −2}.
• Với x – 16 = −1 thì x = 15 (thỏa mãn).
• Với x – 16 = 1 thì x = 17 (thỏa mãn).
• Với x – 16 = −2 thì x = 14 (thỏa mãn).
• Với x – 16 = 2 thì x = 18 (thỏa mãn).
Kết hợp điều kiện để B(A – 1) nguyên thì x ∈ {14; 15; 17; 18}.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:
\(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 11 - x + 2\sqrt x + 2x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(B = \frac{{x + 4\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}}\).
Ta có: P = A.B = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}\).
Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{4}{{\sqrt x + 2}}\) nguyên.
Suy ra \(\sqrt x + 2\) là ước của 4.
Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 2\) với x ≥ 0; x ≠ 4 nên \(\sqrt x + 2\) = 2 hoặc \(\sqrt x + 2\) = 4.
Suy ra x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 4 (loại).
Vậy x = 0 thì P = A.B nhận giá trị nguyên.
Lời giải
Hướng dẫn giải
Với x > 0, x ≠ 4, ta có:
\(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).
Vậy B = \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với x > 0, x ≠ 4.
Ta có: P = A.B = \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\).
Xét P = 0 khi \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0\) suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).
Xét P ≠ 0.
TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).
TH2: x ∈ ℤ; \(\sqrt x \)∈ ℤ.
Ta có: \(P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\).
Để P ∈ ℤ thì \(\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ.
Do đó, \(\left( {\sqrt x + 2} \right) \in \)Ư(3).
Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.
Do \(\sqrt x + 2\) ≥ 2 nên \(\sqrt x + 2\) = 3 suy ra \(\sqrt x = 1\) suy ra x = 1 (thỏa mãn).
Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.