Câu hỏi:

09/01/2025 5,968

Cho biểu thức \(A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với x ≥ 0; x ≠ 1.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 1, ta có:

\(A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\)

\(A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{15\sqrt x - 19 + 3x + 7\sqrt x - 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{x + 21\sqrt x - 22}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 22} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}\).

b) Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}\) với x ≥ 0; x ≠ 1.

Để A nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}\) nguyên.

Suy ra \(\sqrt x + 3\) là Ư(19).

Mà Ư(19) = {1; 19; −1; −19}.

Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\) với x ≥ 0; x ≠ 1.

Suy ra \(\sqrt x + 3\) = 19 hay x = 256 (thỏa mãn).

Vậy x = 256 thì A nhận giá trị nguyên.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với x ≥ 0; x ≠ 4. Tìm x nguyên để A.B có giá trị nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 11 - x + 2\sqrt x + 2x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 4\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}}\).

Ta có: P = A.B = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}\).

Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{4}{{\sqrt x + 2}}\) nguyên.

Suy ra \(\sqrt x + 2\) là ước của 4.

Nhận thấy \(\sqrt x + 2 \ge 2\) với x ≥ 0; x ≠ 4 nên \(\sqrt x + 2\) = 2 hoặc \(\sqrt x + 2\) = 4.

Suy ra x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 4 (loại).

Vậy x = 0 thì P = A.B nhận giá trị nguyên.

Câu 2

Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)
với x > 0, x ≠ 4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B nhận giá trị nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

\(B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).

Vậy B = \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: P = A.B = \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}\).

Xét P = 0 khi \(\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0\) suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Xét P ≠ 0.

TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).

TH2: x ∈ ℤ; \(\sqrt x \)∈ ℤ.

Ta có: \(P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\).

Để P ∈ ℤ thì \(\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x + 2}}\) ∈ ℤ.

Do đó, \(\left( {\sqrt x + 2} \right) \in \)Ư(3).

Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.

Do \(\sqrt x + 2\) ≥ 2 nên \(\sqrt x + 2\) = 3 suy ra \(\sqrt x = 1\) suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.

Câu 3