Cho các biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\) và \(B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với x ≥ 0; x ≠ 9. Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để P = \(\frac{B}{A}\) có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

\(B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)

\(B = \frac{{4\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(B = \frac{{4\sqrt x - 12 + 2x - \sqrt x - 13 - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\).

Ta có: P = \(\frac{B}{A}\) = \(\frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\): \(\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\)

= \(\frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\). \(\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}\).

Ta có: P = \(\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{8}{{\sqrt x + 3}}\).

Để P đạt giá trị nguyên thì \(\frac{8}{{\sqrt x + 3}}\) nhận giá trị nguyên.

Suy ra \(\sqrt x + 3\) là Ư(8).

Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\)với x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, \(\sqrt x + 3 \in {\rm{\{ }}4;8\} \)

Với \(\sqrt x + 3\) = 4 thì x = 1 (thỏa mãn).

Với \(\sqrt x + 3\) = 8 thì x = 25 (thỏa mãn).

Vậy giá trị x nguyên nhỏ nhất để P nhận giá trị nguyên là x = 1.