Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng:

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  + {{\overrightarrow {BD} }^2}} \right)\)

                                                           \( = \frac{1}{4}\left( {2{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \right).\)

Mà: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

\( = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ  - \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos 60^\circ  = 0.\)

Suy ra \({\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = \frac{1}{4}.2{a^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{{a^2}}}{2}.\)

Khi đó, \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {MN} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng \(\left( {30000 \le x \le 50000} \right)\), đơn vị: đồng.

Theo đề ta có:

Nếu bán với giá \(50000\) đồng thì bán được \(40\) quả bưởi

Giảm giá \(5000\) đồng thì bán được thêm \[50\] quả.

Giảm giá \(50000 - x\) thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Khi đó, số quả bưởi được bán thêm là: \(\left( {50000 - x} \right)\frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right)\).

Do đó, số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán \(x\):

\(40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}x + 540\).

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\(F\left( x \right)\): đồng).

Ta có: \(F\left( x \right) = \left( {\frac{{ - 1}}{{100}}x + 540} \right)\left( {x - 30000} \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 840x - 16200000\).

Lúc này, bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số:

\(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 840x - 16200000\) với \(30000 \le x \le 50000\).

\(F'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{50}}x + 840\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42000\).

Vì hàm \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {30000;\,50000} \right]\) nên ta có:

\(F\left( {30000} \right) = 0\)

\(F\left( {42000} \right) = 1440000\)

\(F\left( {50000} \right) = 800000\).

Vậy với \(x = 42000\) thì \(F\left( x \right)\) đạt GTLN.

Vậy để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là \(42000\) đồng.