Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau đây?

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{x + 1}} = x + 3 + \frac{4}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 3\) hoặc \(x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

– Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\); nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({y_{CT}} = 6\); đạt cực đại tại . Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x + 3\). Do đó, ý c) đúng.

– Giả sử đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\left( C \right)\).

Điểm \(M\left( {x;\,y} \right) \in \left( C \right)\) có tọa độ nguyên khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\\4\,\, \vdots \,\,\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.\).

Vì Ư(4) = \[\left\{ { \pm 1;\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}\] nên ta có bảng sau:

Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên nên ý d) đúng.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số đã cho nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Dựa vào đồ thị, ta thấy, giao điểm này có tọa độ là \(\left( {2;\,2} \right)\).