Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {A'AB} = \widehat {A'AD} = 60^\circ \). Khi đó:  

a) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\).

b) \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AB}  = {a^2}\).

c) \(\left| {\overrightarrow {D'A'}  + \overrightarrow {D'C'} } \right| = a\sqrt 3 \).

d) \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AC}  = {a^2}\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Theo bài ra, ta có \(AB = BC = a\) nên \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\). Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \widehat {A'AB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Do đó, ý b) sai.

– Ta có \(\widehat {DAB} = 180^\circ  - \widehat {ABC} = 120^\circ \).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABD\), ta có:

\(DB = \sqrt {A{D^2} + A{B^2} - 2AD \cdot AB \cdot \cos \widehat {DAB}}  = a\sqrt 3 \).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {D'A'}  + \overrightarrow {D'C'}  = \overrightarrow {D'B'}  = \overrightarrow {DB} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {D'A'}  + \overrightarrow {D'C'} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 3 \). Vậy ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \widehat {A'AD} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AA'}  \cdot \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} = {a^2}\).

Vậy ý d) đúng.