Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(\overrightarrow {SA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {SB}  = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {SC}  = \overrightarrow c \) và các điểm \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,SC\). Các điểm \(P,\,Q\) nằm trên các đường thẳng \(SA,\,BN\) sao cho \(PQ\,{\rm{//}}\,CM\). Khi biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \), ta được: \(\overrightarrow {PQ}  =  - \frac{m}{n}\overrightarrow a  - \frac{p}{q}\overrightarrow b  + \frac{r}{z}\overrightarrow c \) (với \(\frac{m}{n},\,\frac{p}{q},\,\frac{r}{z}\) là các phân số tối giản và \(m,n,p,q,r,z \in \mathbb{Z}\)). Giá trị của biểu thức \(\frac{m}{n} + \frac{p}{q} + \frac{r}{z}\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đặt \(\overrightarrow {PA}  = x\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {BQ}  = y\overrightarrow {BN} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BQ}  = x\overrightarrow {SA}  + \left( {\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SA} } \right) + y\left( {\overrightarrow {SN}  - \overrightarrow {SB} } \right)\)

\( = \left( {x - 1} \right)\overrightarrow {SA}  + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow {SB}  + y\overrightarrow {SN} \)\( = \left( {x - 1} \right)\overrightarrow {SA}  + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow {SB}  + \frac{y}{2}\overrightarrow {SC} \)

\( = \left( {x - 1} \right)\overrightarrow a  + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow b  + \frac{y}{2}\overrightarrow c \).

Lại có \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {SM}  - \overrightarrow {SC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB} } \right) - \overrightarrow {SC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b  - \overrightarrow c \).

Vì \(PQ\,{\rm{//}}\,CM\) nên tồn tại số thực \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {PQ}  = k\overrightarrow {CM} \).

Suy ra \(\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{1 - y}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{y}{2}}}{{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).

Khi đó, \(\overrightarrow {PQ}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{1}{3}\overrightarrow b  + \frac{2}{3}\overrightarrow c \). Vậy \(\frac{m}{n} + \frac{p}{q} + \frac{r}{z} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,3\).

Đáp số: \(1,3\).