Câu hỏi:
14/10/2024 230Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 6}}{1} = \frac{{y - 4}}{{ - 4}} = \frac{{z - 4}}{1}\] và \[{d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}\]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Giả sử \[A = \Delta \cap {d_1}\], \[B = \Delta \cap {d_2}\].
Ta có: \[A \in {d_1}\] nên \[A\left( {t + 6; - 4t + 4;t + 4} \right)\], \[B \in {d_2}\] nên \[B\left( {a + 2;2a + 2; - 2a} \right)\].
Suy ra \[\overrightarrow {AB} = \left( {a - t - 4;2a + 4t - 2; - 2a - t - 4} \right)\].
Vì \[\overrightarrow {AB} \bot {d_1},\overrightarrow {AB} \bot {d_2}\] nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot {\overrightarrow u _{{d_1}}} = 0\\\overrightarrow {AB} \bot {\overrightarrow u _{{d_2}}} = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - t - 4 + \left( { - 4} \right)\left( {2a + 4t - 2} \right) - 2a - t - 4 = 0\\a - t - 4 + 2\left( {2a + 4t - 2} \right) - 2\left( { - 2a - t - 4} \right) = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9a - 18t = 0\\9a + 9t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\t = 0\end{array} \right.\]
Suy ra \[A\left( {6;4;4} \right)\] và \[B\left( {2;2;0} \right)\].
Do đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[A\] và \[B\] nên có vectơ chỉ phương
\[\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2; - 4} \right) = - 2\left( {2;1;2} \right)\].
Gọi \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] nên tọa độ điểm \[I\left( {4;3;2} \right)\].
Do đó, phương trình đường thẳng \[\Delta \] là \[\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}.\]
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0\] nên vectơ chỉ phương của đường thẳng là \[\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)\].
Phương trình tham số của đường thẳng là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình tham số \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = - 1 + 2t.\end{array} \right.\]
Đường thẳng \[{d_1}\] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)\].
Điểm \[H \in {d_1}\] nên \[H\left( {2 + t;1 - t; - 1 + 2t} \right)\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2 + t; - 1 - t;3 + 2t} \right)\].
Vì \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên đường thẳng \[{d_1}\] nên \[\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\] hay
\[\left( {2 + t} \right).1 + \left( { - 1 - t} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {3 + 2t} \right).2 = 0\] \[ \Leftrightarrow 6t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{2}.\]
Khi đó \[\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right).\]
Vì \[a,b,c \in \mathbb{Z}\] nên đường thẳng \[AH\] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AH} = \left( {1;1;0} \right)\].
Vậy \[2a - b + c = 2.1 - 1 + 0 = 1.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo