Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;0} \right),\] \[C\left( { - 2;0;1} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có phương trình là

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\] nên

\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;6; - 8} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[x + 6y - 8z + 10 = 0.\]

Phương trình mặt phẳng \[B\] và vuông góc với \[AC\] là: \[2x + y + z - 2 = 0.\]

Phương trình mặt phẳng \[C\] và vuông góc với \[AB\] là: \[2x - 3y - 2z + 6 = 0.\]

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] nên ta có tọa độ điểm \[H\] là \[\left( { - \frac{{22}}{{101}}; - \frac{{31}}{{101}}; - \frac{{26}}{{101}}} \right) = - \frac{1}{{101}}\left( {22;31;26} \right).\]

Suy ra \[\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{22}}{{101}}; - \frac{{31}}{{101}}; - \frac{{26}}{{101}}} \right)\]

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], \[H\] nên \[\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {AH} \].

Mặt phẳng \[\left( P \right) \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[\overrightarrow {{n_P}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left( {1;6; - 8} \right).\]

Vậy \[{\overrightarrow n _P} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}},\overrightarrow {AH} } \right] = \left( {404; - 202; - 101} \right) = 101\left( {4; - 2;1} \right).\]

Do đó, \[{\overrightarrow n _P} = \left( {4; - 2;1} \right)\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\].

Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \[4x - 2y - z + 4 = 0.\]