III. Vận dụng

Nghiệm của bất phương trình \[\frac{{x + 2004}}{{2005}} + \frac{{x + 2005}}{{2006}} < \frac{{x + 2006}}{{2007}} + \frac{{x + 2007}}{{2008}}\] là

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\frac{{x + 2004}}{{2005}} + \frac{{x + 2005}}{{2006}} < \frac{{x + 2006}}{{2007}} + \frac{{x + 2007}}{{2008}}\]

\[\frac{{x + 2004}}{{2005}} - 1 + \frac{{x + 2005}}{{2006}} - 1 < \frac{{x + 2006}}{{2007}} - 1 + \frac{{x + 2007}}{{2008}} - 1\]

\[\frac{{x + 2004 - 2005}}{{2005}} + \frac{{x + 2005 - 2006}}{{2006}} < \frac{{x + 2006 - 2007}}{{2007}} + \frac{{x + 2007 - 2008}}{{2008}}\]

\[\frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} < \frac{{x - 1}}{{2007}} + \frac{{x - 1}}{{2008}}\]

\[\frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} - \frac{{x - 1}}{{2007}} - \frac{{x - 1}}{{2008}} < 0\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}}} \right) < 0\]

Do \[\frac{1}{{2005}} - \frac{1}{{2007}} > 0\] và \[\frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2008}} > 0\] nên \[\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}} > 0\]

Khi đó \(x - 1 < 0\) (vì \[\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}} > 0\])</>

\(x < 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm là \(x < 1\).