III. Vận dụng

Để phương trình \({x^2} + 2x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(3x{}_1 + 2{x_2} = 1\) thì giá trị \(m\) là bao nhiêu?

Đáp án đúng là: C

Phương trình \({x^2} + 2x + m = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta = 4 - 4.1.m = 4 - 4m.\)

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\) hay \(4 - 4m > 0\) hay \(m < 1.\)

Theo định lí Viète, ta có\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có \(3x{}_1 + 2{x_2} = 1\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\3x{}_1 + 2{x_2} = 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = - 7\end{array} \right.\).

Thay \({x_1} = 5\) và \({x_2} = - 7\) vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được \(m = 5.\left( { - 7} \right) = - 35\).

Vậy \(m = - 35\) thì phương trình \({x^2} + 2x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(3x{}_1 + 2{x_2} = 1.\)