Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {2x + 5}  - 3}}{{x - 2}} = \frac{a}{b}\), trong đó a, b là các số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 1984{a^2} + 4{b^2}\).

Đáp án

Phương pháp giải

Dựa vào các lý thuyết acid - base đã nêu trong bài.

Lời giải

- Phản ứng acid - base the thuyết Lewis không đề cập đến việc sau phản ứng sản phẩm tạo ra có nước nên nhận định 1 và 2 sai.

- Không có bất kỳ lý thuyết nào trao đổi về tốc độ phản ứng của acid - base nên nhận định 3 là sai.

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD,H là trung điểm AB.

Do \((SAB) \bot (ABCD)\) và \(SH \bot AB\) nên \(SH \bot (ABCD)\).

Gọi I là giao điểm của HD và \(AC \Rightarrow ID = 2IH\).

Gọi \(G\) là trọng tâm .

Suy ra \(IG//SD \Rightarrow SD//(AGC)\).

\( \Rightarrow d(SD;AC) = d(SD;(AGC)) = d(D;(AGC)) = 2d(H;(AGC)){\rm{. }}\)

Dựng \(HK \bot AC \Rightarrow AC \bot (GHK)\).

Dựng \(HP \bot GK \Rightarrow HP \bot (GAC)\).

Suy ra \(d(H;(GAC)) = HP\).

Ta có \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};HO = \frac{{BC}}{2} = a;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HG = \frac{1}{3}SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Xét tam giác GHK vuông tại \(H\):

\(\frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{H{G^2}}} = \frac{1}{{H{A^2}}} + \frac{1}{{H{O^2}}} + \frac{1}{{H{G^2}}} = \frac{{17}}{{{a^2}}}{\rm{. }}\)

Suy ra \(HP = \frac{{\sqrt {17} a}}{{17}}\).

Vậy \(d(SD;AC) = \frac{{2\sqrt {17} a}}{{17}}\).