Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân, \(AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^^\circ }\). Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với mặt đáy một góc \({60^^\circ }\). Tính khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng \(AB'C'\) theo \(a\).

- Vì và \( \Rightarrow d\left( {BC;\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AB'C'} \right)} \right)\).

- Vì trung điểm \(A'B\) nằm trong \(mp\left( {AB'C'} \right)\) nên \(d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\).

- Do góc giữa \(\left( {A'B'C'} \right)\) và \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng góc giữa \((ABC)\) và \(\left( {AB'C'} \right)\) và bằng \({60^^\circ }\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\), do \(A'B'C'\) là tam giác cân nên \(A'M \bot B'C'\).

Kẻ \(A'H \bot AM(H \in AM)\). Ta có

\(AA' \bot B'C'\left( {AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\) và \(A'M \bot B'C' \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow B'C' \bot A'H\).

Mà \(A'H \bot AM \Rightarrow A'H \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow d\left( {A';\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H\).

- Vì \(A'M \bot B'C'\) và \(AM \bot B'C' \Rightarrow \) góc giữa \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) là góc \(\widehat {AMA'} = {60^^\circ }\).

- Có \(\widehat {C'A'M} = \frac{{\widehat {B'A'C'}}}{2} = {60^^\circ };A'M = A'C'.\cos \widehat {C'A'M} = \frac{a}{2}\).

- \(A'H = A'M.\sin \widehat {A'MA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).