Trên bảng viết các số \(\frac{1}{{2015}},\frac{2}{{2015}}, \ldots ,\frac{{2014}}{{2015}},\frac{{2015}}{{2016}}\). Mỗi lần biến đổi, xóa đi hai số \({\rm{a}},{\rm{b}}\) bất kì và thay bằng số \(a + b - 5ab\). Sau 2014 lần thực hiện phép biến đổi trên bảng còn lại một phân số \(\frac{m}{n}\). (tối giản)

Tổng m + n =  ?

Đáp án: “6”

Phương pháp giải

Áp dụng nguyên lý bất biến trong giải toán:

Cho a, b, c là những số thực ta xét tổng S = a + b + c . Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho c, c cho a, thì tổng S luôn luôn chỉ là một (không đổi). Tổng này không thay đổi đối với thứ tự phép cộng. Dù a, b, c có thay đổi thứ tự như thế nào chăng nữa S vẫn không thay đổi, nghĩa là S bất biến đối với việc thay đổi các biến khác.

Thông thường ta sẽ dựa vào kinh nghiệm dự đoán số bất biến trong dãy.

Lời giải

Nhận xét: c = a + b − 5ab là một tổng mà vai trò của a và b như nhau. Cứ xóa 2 số a, b bất kì và xóa 2014 theo bất kì cách nào thì luôn ra một số duy nhất, nên ta có thể dự đoán: khi xóa đến một số nào đó thì số c là không đổi. Giả sử xóa đến số a0 thì được số co = ao + b1 − 5a0b1

Xóa tiếp số co và b2 thì vẫn được co, tức là: co = co + b2 − 5cob2 ⇔ co = \(\frac{1}{5}\)

Thử lại ta thấy:

Trong dãy số trên có số \(\frac{{403}}{{2015}} = \frac{1}{5}\)

Nếu xóa hai số a và b bất kì và thay bằng số mới là c = a +  b − 5ab, như vậy sau mỗi lần xóa dãy trên giảm đi một số. Như vậy sau 2014 lần xóa trên bảng còn lại đúng 1 số.

Ta cứ xóa đến một lúc nào đó ta sẽ xóa \(\frac{{403}}{{2015}}\) và được thay bằng \(c = \frac{1}{5} + b - 5.\frac{1}{5}b = \frac{1}{5}\)

Như vậy cứ xóa số \(\frac{1}{5}\) và một số b bất kì thì lại viết được c = \(\frac{1}{5}\)

Vậy số cuối cùng còn lại là \(\frac{1}{5}\)