Gọi \(A\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \(x{.2^x} = x(x - m + 1) + m\left( {{2^x} - 1} \right)\) có hai nghiệm phân biệt. Số tập hợp con của tập hợp \(A\) là

\(x{.2^x} = x(x - m + 1) + m\left( {{2^x} - 1} \right) \Leftrightarrow x{.2^x} = {x^2} - mx + x + m{.2^x} - m\)

\( \Leftrightarrow {2^x}(x - m) = (x + 1)(x - m) \Leftrightarrow \left( {{2^x} - x - 1} \right)(x - m) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} - x - 1 = 0\,\,(1)}\\{x - m = 0\,\,\,\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Xét phương trình (1).

Đặt \(f(x) = {2^x} - x - 1\).

Xét hàm số \(f(x) = {2^x} - x - 1\) trên \(\mathbb{R}\), có \({f^\prime }(x) = {2^x}\ln 2 - 1\)

Phương trình \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {2^x} = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{1}{{\ln 2}} =  - {\log _2}(\ln 2)\)

\( \Rightarrow f(x) = 0\)có nhiều nhất 2 nghiệm mà \(f(0) = f(1) = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow (2)\) có nghiệm là 1 hoặc 0 \( \Rightarrow m \in \{ 0;1\} \) là 2 giá trị cần tìm.

Vậy tập hợp \(A = \{ 0;1\}  \Rightarrow \) Số tập hợp con của tập hợp \(A\) là \({2^2} = 4\).