Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200m, góc ASB = 15^o bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS. Trong đó điểm L cố định và LS = 40 m (tham khảo hình vẽ). Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?

Phương pháp giải

Lời giải

Theo bài cho, tổng số viên bi có trong hộp là: n + 8 (n ∈ N*).

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là: \(n(\Omega ) = C_{n + 8}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố: "3 viên bi lấy được có đủ ba màu". Số kết quả thuận lợi cho \(A\) là:

\(n(A) = C_5^1.C_3^1.C_n^1 = 15n{\rm{. }}\)

\( \Rightarrow \) Xác suất để trong 3 viên bi lấy được có đủ ba màu là:

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{15n}}{{C_{n + 8}^3}} = \frac{{90n}}{{(n + 6)(n + 7)(n + 8)}}\)

Theo bài, ta có: \(P(A) = \frac{{45}}{{182}}\) nên ta được phương trình:

\(\frac{{90n}}{{(n + 6)(n + 7)(n + 8)}} = \frac{{45}}{{182}} \Leftrightarrow 364n = (n + 6)(n + 7)(n + 8)\)

\( \Leftrightarrow {n^3} + 21{n^2} - 218n + 336 = 0.\)

Giải phương trình trên với điều kiện \(n\) là số nguyên dương, ta được \(n = 6\).

Do đó, trong hộp có tất cả 14 viên bi và \(n(\Omega ) = C_{14}^3\).

Gọi \(B\) là biến cố: "3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ". Suy ra, \(\bar B\) là biến cố: "3 viên bi lấy được đều là bi đỏ". Số kết quả thuận lợi cho \(\bar B\) là: \(n(\bar B) = C_5^3\).

Khi đó, xác suất \(P\) để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:

\(P = P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - \frac{{n(\bar B)}}{{n(\Omega )}} = 1 - \frac{{C_5^3}}{{C_{14}^3}} = \frac{{177}}{{182}}\).

 Chọn B

b) Xác suất để chọn được một nam sinh giỏi toán hay một nữ sinh giỏi lý là 23/40

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có A∪B là biến cố chọn một nam sinh giỏi toán hay một nữ sinh giỏi lý.

Ta có \(P(A) = \frac{{15}}{{40}} = \frac{3}{8}{\rm{ v\`a  }}P(B) = \frac{8}{{40}} = \frac{1}{5}\)  A và B là hai biến cố xung khắc nên

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{8} + \frac{1}{5} = \frac{{23}}{{40}}\)